三對角線性系統 Ax = b 廣泛存在於有限差分、樣條插值、流體動力學等領域。追趕法以 O(n) 時間複雜度和 O(n) 空間複雜度，成為求解此類系統的黃金標準。本文深度解析一個完整的 C++ 實現，涵蓋 LU 分解、前向消去、後向代入、邊界處理等核心環節。
矩陣 A 僅主對角線 d、次對角線 a、超對角線 c 非零：
[ d₁ c₁ 0 ... 0 ]
[ a₂ d₂ c₂ ... 0 ]
[ 0 a₃ d₃ ... 0 ]
[ ... cₙ₋₁]
[ 0 0 0 aₙ dₙ ]追趕法本質是不帶主元選擇的 LU 分解：A = LU，其中 L 為單位下雙對角，U 為上雙對角。
p[1] = d[1];
q[1] = c[1] / d[1];
for (k=2; k關鍵點： 僅需存儲 p[] (U主對角) 和 q[] (U超對角)，L 的次對角隱含在計算中。
Ly = by[1] = b[1] / d[1];
Iy[1] = -a[1] / d[1]; // 為後續邊界修正準備
for (k=2; k這裡 Iy[] 實際是求解 L z = eₙ 的中間量，用於處理週期性邊界條件或修正最後一行。
x[n-1] = y[n-1]; Ix[n-1] = Iy[n-1];
for (k=n-2; k>0; k--) {
x[k] = y[k] - q[k] * x[k+1];
Ix[k] = Iy[k] - q[k] * Ix[k+1];
}
// 修正最後一個未知數 x[n]（利用週期/邊界條件）
x[n] = (b[n] - c[n]*x[1] - a[n]*x[n-1]) / (c[n]*Ix[1] + a[n]*Ix[n-1] + d[n]);
for (k=1; k這段代碼處理了非標準三對角系統（首尾行有額外非零元素 c[n], a[n]），通過Sherman-Morrison 公式思想修正解向量。
// 系統參數 n=50
a[k]=1, c[k]=1, d[k]=4 (d[1]=2), b[k]=k+1
// 部分輸出
The roots are: (-6.4282, 2.31175, 0.18121, 0.963411, 0.965146, 1.17601,
1.33083, 1.50067, 1.66649, 1.83338, 1.99999, 2.16667, 2.33333, 2.5,
2.66667, 2.83333, 3, 3.16667, 3.33333, 3.5, 3.66667, 3.83333, 4,
4.16667, 4.33333, 4.5, 4.66667, 4.83333, 5, 5.16667, 5.33333, 5.5,
5.66667, 5.83333, 6, 6.16667, 6.33333, 6.5, 6.66666, 6.83334, 6.99997,
7.16677, 7.33293, 7.5015, 7.66108, 7.85418, 7.92219, 8.45706, 7.24957, 12.5447)解向量呈現近線性增長趨勢（理論解應為 xₖ ≈ k），邊界處因修正條件出現波動，末端 x₅₀=12.54 偏離預期，提示邊界條件實現需仔細驗證。
|dᵢ| > |aᵢ| + |cᵢ| 保證無需主元選擇dᵢ>0, aᵢ≤0, cᵢ≤0 且對角佔優 → 穩定class TridiagonalSolver {
std::vector a_, d_, c_; // 次對角、主對角、超對角
std::vector p_, q_; // LU 分解緩存
public:
TridiagonalSolver(int n) : a_(n+1), d_(n+1), c_(n+1), p_(n+1), q_(n+1) {}
void factorize(); // LU 分解
std::vector solve(const std::vector& b); // 前向+後向
// 支援週期性邊界、分塊三對角擴展
}; p[k] < 1e-8 閾值應關聯機器精度與條件數追趕法是線性代數直接法中罕見的 O(n) 算法，其優雅在於將高斯消去的 O(n³) 降維為三條向量遞推。掌握其 LU 分解視角、前向/後向代入、邊界修正技巧，不僅能高效求解三對角系統，更能理解稀疏矩陣直接法的核心思想——這正是有限元、CFD、計算金融等領域高性能求解器的基石。
