矩陣乘法原理與 C 語言實現詳解

矩陣乘法原理與 C 語言實現詳解

矩陣乘法是線性代數中的核心運算，廣泛應用於圖形學、科學計算與機器學習等領域。給定兩個矩陣 A（m×s）與 B（s×n），其乘積 C = A × B 將是一個 m×n 的矩陣。結果矩陣 C 中的每個元素 C[i][j] 等於 A 的第 i 行向量與 B 的第 j 列向量的內積（點積），即：

C[i][j] = Σ (A[i][k] × B[k][j])，其中 k 從 0 到 s-1。

這意味著 A 的列數必須等於 B 的行數（即 s），乘法才有定義。下圖示意了矩陣乘法的行列對應關係：

C 語言完整實現代碼

以下提供一個標準的 C 語言實現，包含輸入讀取、三重迴圈運算與結果輸出：

#include <stdio.h>

// 宏定義矩陣最大維度
#define MAX_ROW 200
#define MAX_COL 200

int main() {
    int i, j, k;
    int m, s, n; // A: m×s, B: s×n, C: m×n
    int A[MAX_ROW][MAX_COL], B[MAX_ROW][MAX_COL], C[MAX_ROW][MAX_COL] = {{0}};

    // 1. 讀取矩陣維度
    scanf("%d %d %d", &m, &s, &n);

    // 2. 讀取矩陣 A
    for (i = 0; i < m; i++)
        for (j = 0; j < s; j++)
            scanf("%d", &A[i][j]);

    // 3. 讀取矩陣 B
    for (i = 0; i < s; i++)
        for (j = 0; j < n; j++)
            scanf("%d", &B[i][j]);

    // 4. 矩陣乘法核心運算
    for (i = 0; i < m; i++) {
        for (j = 0; j < n; j++) {
            for (k = 0; k < s; k++) {
                C[i][j] += A[i][k] * B[k][j];
            }
        }
    }

    // 5. 輸出結果矩陣 C
    for (i = 0; i < m; i++) {
        for (j = 0; j < n; j++)
            printf("%d ", C[i][j]);
        putchar('\n');
    }
    return 0;
}

關鍵點解析

• 初始化：結果矩陣 C 必須預先歸零，避免殘留垃圾值影響累加。
• 迴圈順序：最外層遍歷結果矩陣的行 (i)，中間層遍歷列 (j)，內層遍歷公共維度 k 進行內積累加。
• 複雜度：時間複雜度為 O(m×n×s)，空間複雜度取決於矩陣大小。

此代碼為教學示例，實際工程中大規模矩陣運算通常會使用優化庫（如 BLAS、OpenBLAS）或平行運算（GPU/CUDA）以提升性能。