計算機系統原理（十一）二進制浮點數與 IEEE 754 標準深度解析

引言

整數無法表示小數及極大極小值，浮點數應運而生。早期廠商標準不一，1985 年 IEEE 754 統一了浮點表示，如同秦始皇統一度量衡。

二進制小數表示

二進制小數按 2 的冪次展開，如 10010.1110 = 18.875。但並非所有十進制小數都能精確表示（如 0.3）。

IEEE 754 格式：科學計數法

浮點數表示為 V = (-1)^s × M × 2^E：

• s：符號位（0 正，1 負）
• M：尾數（1 ≤ M < 2 或 0 ≤ M < 1）
• E：階碼（帶偏移的有符號整數）

單精度 (float)：32 位 = 1 符號 + 8 階碼 + 23 尾數
雙精度 (double)：64 位 = 1 符號 + 11 階碼 + 52 尾數

三種取值情況

1. 規格化值：階碼不全 0/1。真實階碼 E = e - Bias（Bias=127/1023），尾數 M = 1 + f（隱含最高位 1）。
2. 非規格化值：階碼全 0。E = 1 - Bias，尾數 M = f（無隱含 1），可表示 0 及極小值。±0 由符號位區分。
3. 特殊值：階碼全 1。尾數 0 → ±∞；尾數非 0 → NaN（非數字）。

取值範圍詳析

推導非規格化最小/最大值、規格化最小/最大值公式。關鍵點：最小規格化值與最大非規格化值平滑過渡（階碼相同，尾數差最小精度 2^-n）。

單/雙精度具體數值表：

習題：最小不可精確正整數

對於 n 位尾數，最小不可精確正整數為 2ⁿ⁺¹ + 1。例 n=1 時為 5（尾數只能表示 0, 0.5, 1, 1.5，乘以階碼無法得 5）。

小結

本章詳細拆解 IEEE 754 結構，為理解捨入與運算奠基。下一章講解捨入規則與浮點運算。