計算機系統原理（十二）浮點數捨入規則、Java 實例驗證與浮點運算特性

前言

上一章介紹了 IEEE 754 標準，本章聚焦浮點運算中的捨入問題及運算特性。許多十進制小數（如 0.3）無法用二進制精確表示，必須捨入。

浮點數捨入的四種模式

IEEE 754 定義四種捨入模式：

1. 向偶數捨入（默認）：最接近值；若恰好在中間，選擇最低有效位為 0 的值（即偶數）。如 1.5→2，0.1→0。
2. 向零捨入：截斷，向 0 方向。1.5→1，-1.5→-1。
3. 向上捨入：向 +∞ 方向。1.5→2，-1.5→-1。
4. 向下捨入：向 -∞ 方向。1.5→1，-1.5→-2。

除向偶數捨入外，其他三種有明確邊界關係。向偶數捨入能使統計誤差抵消，是 IEEE 默認模式（Round to Nearest）。

Java 中的捨入行為驗證

編寫 Java 程序測試 float 捨入，輸入二進制表示為 10.10011... 的數值，觀察捨入結果：

結果證實：Java 採用「向最近值捨入，中間值向偶數」策略。正負數捨入位模式相同，僅符號位不同。

浮點運算的數學特性缺失

IEEE 規定：運算結果 = 精確結果的捨入值。這導致：

• 結合律失效：(a + b) + c != a + (b + c)。例：1f + 1e10f - 1e10f = 0.0，但 1f + (1e10f - 1e10f) = 1.0。
• 乘法結合律、分配律同樣失效。

因此編譯器無法進行如 t = b + c; x = a + t; y = t + d; 這類浮點優化，否則可能引入誤差（如金融系統不可接受）。

小結

本章完成浮點數專題：表示、捨入、運算特性。下一章進入匯編語言（3.x 系列），將更貼近程序實際運行。