Java 計算 s = a + aa + aaa + ... (重複數字疊加和)

重複數字疊加和問題

給定一位數字 a (1-9) 與項數 n，求 S = a + aa + aaa + ... (共 n 項) 的和。例如 a=2, n=5 時：2 + 22 + 222 + 2222 + 22222 = 24690。

解法一：字串累加法（直觀易懂）

import java.io.*;

public class SumLoopString {
    public static void main(String[] args) throws IOException {
        BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
        System.out.print("請輸入數字 a (1-9)：");
        String aStr = br.readLine();
        System.out.print("請輸入項數 n：");
        int n = Integer.parseInt(br.readLine());

        long sum = 0;
        String term = "";
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            term += aStr;          // "2" -> "22" -> "222" ...
            sum += Long.parseLong(term);
        }
        System.out.println("總和 = " + sum);
    }
}

利用字串連接產生每一項，再轉數值相加。直觀但因字串操作與解析，效能較差，適合教學示範。

解法二：數學遞推法（高效）

import java.io.*;

public class SumLoopMath {
    public static void main(String[] args) throws IOException {
        BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
        System.out.print("請輸入數字 a (1-9)：");
        int a = Integer.parseInt(br.readLine());
        System.out.print("請輸入項數 n：");
        int n = Integer.parseInt(br.readLine());

        long sum = 0, term = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            term = term * 10 + a; // 遞推：2 -> 22 -> 222 ...
            sum += term;
            System.out.println("第" + i + "項 = " + term);
        }
        System.out.println("總和 = " + sum);
    }
}

觀察規律：term_i = term_{i-1} * 10 + a。純整數運算，時間 O(n)，空間 O(1)，無字串開銷，適合大量計算。

數學閉式公式（進階）

利用等比數列求和公式可進一步優化為 O(1)：

S = a/9 * [ (10^1-1) + (10^2-1) + ... + (10^n-1) ] = a/9 * [ (10^(n+1)-10)/9 - n ]

實作時需注意整數除法順序與溢位，可使用 BigInteger 處理極大 n。