Java 計算分數數列前 20 項和：2/1 + 3/2 + 5/3 + 8/5 + ...

數列規律

分子分母均為斐波那契數列：
項1: 2/1 (F3/F2)
項2: 3/2 (F4/F3)
項3: 5/3 (F5/F4)
...
項n: F(n+2)/F(n+1)

遞推計算

public class FractionSeriesSum {
    public static void main(String[] args) {
        double fm = 1.0; // 分母 F2
        double fz = 2.0; // 分子 F3
        double sum = 0.0;
        for (int i = 0; i < 20; i++) {
            sum += fz / fm;
            // 更新到下一項
            double nextFz = fz + fm; // F(n+3) = F(n+2) + F(n+1)
            fm = fz;                 // 分母變為上一項分子
            fz = nextFz;             // 分子變為下一個斐波那契數
        }
        System.out.println("前20項和: " + sum); // 約 32.660261
    }
}

關鍵點

• 只需兩個變量滾動更新，空間 O(1)
• 雙精度足夠 20 項精度；高精度需求可用 BigDecimal
• 數列收斂於黃金比例 φ ≈ 1.618，前 20 項和約 20 * φ ≈ 32.36，實際略大因前項偏大