C 語言字母謎解題：字母加法算式「學C + 要學C + 都要學C = 2008」的窮舉求解

問題描述

解字母加法謎題：不同漢字代表不同數字 (0-9)，同字同數。算式：

    學 C
  要 學 C
+ 都 要 學 C
-----------
  2 0 0 8

即：學C + 要學C + 都要學C = 2008。核心考點：四重循環窮舉、約束剪枝、字母數字映射。

數學建模

設：

• 都 = a (千位，≠0)
• 要 = b (百位，≠0)
• 學 = c (十位，≠0)
• C = d (個位)

三數為：

• 學C = 10c + d
• 要學C = 100b + 10c + d
• 都要學C = 1000a + 100b + 10c + d

方程：(10c+d) + (100b+10c+d) + (1000a+100b+10c+d) = 2008
化簡：1000a + 200b + 30c + 3d = 2008

原代碼：四重循環暴力窮舉

for (a=1; a<3; a++)      // a≠0, 且 1000a≤2008 → a∈{1,2}
  for (b=1; b<10; b++)   // b≠0
    if (a!=b)
      for (c=1; c<10; c++) // c≠0
        if (c!=a && c!=b)
          for (d=0; d<10; d++)
            if (d!=a && d!=b && d!=c)
              if (n+m+l == 2008) 找到解

剪枝優化：數學約束減少搜索空間

由 1000a + 200b + 30c + 3d = 2008：

• a ∈ {1,2} (a=2 時 2000+...>2008 無解) → **a=1 確定**
• 代入 a=1：200b + 30c + 3d = 1008
• b ≤ 5 (200×5=1000)，且 b≠1 → **b ∈ {2,3,4,5}**
• 進一步：30c + 3d = 1008 - 200b，右邊必須能被 3 整除 → 1008-200b ≡ 0 (mod 3)
  1008≡0, 200≡2 → 2b≡0 (mod 3) → **b ≡ 0 (mod 3)** → **b=3** (b∈{2,3,4,5} 中僅 3 滿足)
• 代入 b=3：30c + 3d = 408 → 10c + d = 136
• 但 c,d 為個位數，10c+d ≤ 99，**無解！**

**結論：原題無解**，或題目條件有誤 (如進制非 10、或算式對齊不同)。

驗證：窮舉搜索確認無解

int main() {
    int found = 0;
    for (int a=1; a<=2; a++)
    for (int b=1; b<=9; b++) if (b!=a)
    for (int c=1; c<=9; c++) if (c!=a && c!=b)
    for (int d=0; d<=9; d++) if (d!=a && d!=b && d!=c) {
        int n = 10*c + d;
        int m = 100*b + 10*c + d;
        int l = 1000*a + 100*b + 10*c + d;
        if (n + m + l == 2008) {
            printf("解: 都=%d 要=%d 學=%d C=%d\n", a,b,c,d);
            found = 1;
        }
    }
    if (!found) printf("無解\n");
    return 0;
}

運行結果：**無解**。

可能的題目變體修正

若算式對齊為右對齊 (個位對齊)：

      學 C
    要 學 C
  都 要 學 C
  ---------
    2 0 0 8

即：學C + 要學C + 都要學C = 2008 (同原建模)，無解。
若為：學 + 要學 + 都要學 = 2008 (無 C) → 另謎題。
若結果非 2008 而是其他數 → 可能有解。

總結

字母謎題展示了建模 → 代數剪枝 → 窮舉驗證的完整流程。關鍵收穫：

• 建立字母→數字映射與位值方程；
• **代數剪枝** (模運算、邊界) 可將搜索空間從 9×9×9×10=7290 降至 **極少**；
• 本題經剪枝證明**無解**，展示了「無解」也是有效結果；
• 窮舉代碼需正確處理「不同字母不同數字」約束 (if 鏈或 used[] 數組)；
• 輸出格式化 printf("都=%d 要=%d 學=%d C=%d\n", ...) 清晰呈現映射。