從餘弦定理推導向量點積公式：幾何與代數的完美統一

前言：點積的兩種面貌

向量點積既有幾何定義 a·b = |a||b|cosθ，又有代數定義 a·b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃。兩者為何等價？本文通過餘弦定理證明，揭示幾何與代數的深層聯繫。

第一步：證明餘弦定理

任意三角形邊長 a,b,c，對應夾角 A,B,C。從頂點向對邊作投影：

a = b·cosC + c·cosB
b = a·cosC + c·cosA
c = a·cosB + b·cosA

第一式乘 a，第二式乘 b，第三式乘 c：

a² = ab·cosC + ac·cosB
b² = ab·cosC + bc·cosA
c² = ac·cosB + bc·cosA

前兩式相加：
a² + b² = 2ab·cosC + c(cosA·b + cosB·a) = 2ab·cosC + c²
整理得餘弦定理：c² = a² + b² - 2ab·cosC

第二步：引入三維座標系

設向量 a = (a₁,a₂,a₃)、b = (b₁,b₂,b₃)、c = a - b = (a₁-b₁, a₂-b₂, a₃-b₃)。
模長平方：

|a|² = a₁² + a₂² + a₃²
|b|² = b₁² + b₂² + b₃²
|c|² = (a₁-b₁)² + (a₂-b₂)² + (a₃-b₃)²
     = |a|² + |b|² - 2(a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃)

第三步：合併兩式得出點積公式

由餘弦定理：|c|² = |a|² + |b|² - 2|a||b|cosθ
代入座標展開式：

|a|² + |b|² - 2(a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃) = |a|² + |b|² - 2|a||b|cosθ

消去同類項：

2(a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃) = 2|a||b|cosθ

即得核心結論：

a·b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ = |a||b|cosθ

意義與應用

• 幾何意義：點積等於一向量在另一向量方向上的投影長度乘以另一向量模長。
• 判斷夾角：cosθ = (a·b) / (|a||b|)，避免反三角函數計算角度本身。
• 正交判斷：a·b = 0 ⇔ a ⟂ b（零向量除外）。
• 物理應用：功 W = F·s、通量計算等。

這一推導不僅證明了公式，更展示了解析幾何將幾何問題轉化為代數運算的強大威力，是線性代數、物理模擬、電腦圖形學的基石。