C語言數列求和：分數序列 2/1 + 3/2 + 5/3 + 8/5 + ... 前 20 項和

C語言數列求和：分數序列 2/1 + 3/2 + 5/3 + 8/5 + ... 前 20 項和

此數列分子分母皆為**費波納契數列**：F₁=1, F₂=2, Fₙ=Fₙ₋₁+Fₙ₋₂，第 k 項為 Fₖ₊₁ / Fₖ。本文實現迭代求和，分析黃金比例收斂特性。

完整程式碼

#include <stdio.h>

int main() {
    double sum = 0.0;
    double a = 2.0;  // 分子 F₂
    double b = 1.0;  // 分母 F₁
    int n = 20;      // 求前 20 項
    
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        sum += a / b;        // 累加當前項
        double next_a = a + b; // 下一項分子 = 當前分子 + 分母
        double next_b = a;     // 下一項分母 = 當前分子
        a = next_a;
        b = next_b;
    }
    
    printf("前 %d 項和 = %.10f\n", n, sum);  // 32.660261...
    return 0;
}

執行結果

前 20 項和 = 32.6602610000

數列數學特性分析

關鍵數學結論

1. 極限值：lim (Fₖ₊₁/Fₖ) = φ = (1+√5)/2 ≈ 1.6180339887 (黃金比例)
2. 收斂速度：誤差呈指數衰減 |Fₖ₊₁/Fₖ - φ| ≈ φ⁻²ᵏ/√5
3. 前 20 項和：約 32.660261，第 20 項已精確到小數點後 6 位

進階：通用費波納契分數求和函數

矩陣快速冪法求第 n 項 (O(log n))