C語言物理模擬：自由落體反彈問題（100米高度、第10次落地路程與高度）

C語言物理模擬：自由落體反彈問題（100米高度、第10次落地路程與高度）

經典物理建模題：球從 100m 高度落下，每次觸地反彈至原高度一半。求**第 10 次落地時總路程**與**第 10 次反彈高度**。

完整程式碼

#include <stdio.h>

int main() {
    double height = 100.0;  // 初始高度
    double total_distance = 0.0;
    double rebound = height / 2.0;  // 第一次反彈高度
    
    // 第 1 次落地：只下落 100m
    // 第 2~10 次落地：每次經歷「上升 + 下落」= 2 × 反彈高度
    for (int i = 1; i < 10; i++) {  // i=1~9 對應第 2~10 次落地前的反彈
        total_distance += 2 * rebound;
        rebound /= 2.0;  // 下一次反彈高度減半
    }
    
    total_distance += height;  // 加上第一次下落 100m
    
    printf("第 10 次落地總路程 = %.6f 米\n", total_distance);  // 299.609375
    printf("第 10 次反彈高度   = %.6f 米\n", rebound);          // 0.097656
    
    return 0;
}

執行結果

第 10 次落地總路程 = 299.609375 米
第 10 次反彈高度   = 0.097656 米

物理過程逐步拆解

數學公式驗證

總路程 = 初始下落 + 2 × (首次反彈 + 二次反彈 + ... + 第9次反彈)

S = h + 2 × (h/2 + h/4 + ... + h/2⁹)
  = h + 2 × h/2 × (1 - (1/2)⁹) / (1 - 1/2)  // 等比數列求和
  = h + 2h × (1 - 1/512)
  = 100 + 200 × 511/512
  = 100 + 199.609375
  = 299.609375  ✓

第 10 次反彈高度 = h / 2¹⁰ = 100 / 1024 = 0.09765625 ✓

通用化函數實現

常見邏輯錯誤避坑

錯誤邏輯
後果
修正
迴圈 10 次全按 2×refund 計算
多加一次上升路程
第一次只有下落，迴圈跑 9 次
忘記加初始 100m
少算 100m
循環外加 `height`
反彈高度更新順序錯誤
高度錯位
先累加路徑，再 `rebound /= 2`


總結
自由落體反彈問題核心在於**識別第一次落地只有下落**，後續每次落地皆含「上升+下落」。迴圈次數 = 落地次數 - 1。數學上為等比數列求和，程式上用累加器模擬更直觀。結果：**第 10 次落地總路程 299.609375 米，第 10 次反彈高度 0.097656 米**。