C++ 循環練習題詳解：累加求和、階乘、調和級數、交替級數、圓周率逼近

題目一：1 到 m 的平方和

int main() {
    int m; cin >> m;
    long long sum = 0;
    for (int i = 1; i <= m; ++i) sum += 1LL * i * i;
    cout << sum << endl;
}

注意：i*i 可能溢出 int，用 1LL * i * i 提升至 long long。

題目二：1 到 m 間所有奇數和

int sum = 0;
for (int i = 1; i <= m; i += 2) sum += i;
// 或數學公式：n = (m+1)/2 項，和 = n²

題目三：調和級數 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/m

double sum = 0;
for (int i = 1; i <= m; ++i) sum += 1.0 / i; // 1.0 強制浮點除法
cout << fixed << setprecision(6) << sum << endl;

關鍵：1 / i 是整數除法（結果 0），必須用 1.0 / i。

題目四：交替級數 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... ± 1/m

double sum = 0;
int sign = 1;
for (int i = 1; i <= m; ++i) {
    sum += sign * (1.0 / i);
    sign *= -1; // 符號翻轉
}

題目五：m! 階乘

long long fact = 1;
for (int i = 1; i <= m; ++i) fact *= i;
cout << m << "! = " << fact << endl;

注意：13! 超過 int，21! 超過 long long。大數階乘需高精度/大整數庫。

進階題：累加求圓周率 π

萊布尼茨公式：π/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ...
項的絕對值 1/(2n-1)，當 < 1e-5 停止。

double pi = 0, term = 1;
int n = 1, sign = 1;
while (fabs(term) > 1e-5) {
    pi += sign * term;
    n += 2;
    term = 1.0 / n;
    sign *= -1;
}
pi *= 4;
cout << fixed << setprecision(6) << pi << endl;

循環構造對比：while vs for

常見錯誤總結

1. 整數除法：1/2 == 0，必須 1.0/2。
2. 溢出：累加/乘積超出類型範圍，用 long long、double 或大整數。
3. 浮點比較：while (term > 1e-5) 應用 fabs(term) > 1e-5。
4. 循環變量作用域：C++17 for (int i=0; ...) 變量僅在循環內可見。

總結

循環是程序設計基石。掌握：三要素（初始、條件、增量）、類型選擇（整數/浮點/大數）、邊界條件、輸出格式控制。本文五道經典題覆蓋了累加、條件累加、調和級數、交替級數、收敛級數五大基本模式，是循環訓練的完整入門套餐。