C++ 累加求圓周率：萊布尼茨公式與收斂判斷

問題描述

使用萊布尼茨公式計算 π 的近似值：
π/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - ...
當最後一項的絕對值小於 10⁻⁵ 時停止累加。

算法邏輯

• 分母序列：1, 3, 5, 7, ...（等差數列，首項 1，公差 2）。
• 符號交替：+, -, +, -, ...（sign = 1 → -1 → 1 ...）。
• 項值：term = 1.0 / denominator。
• 停止條件：fabs(term) < 1e-5。

代碼實現

#include 
#include 
#include 
using namespace std;

int main() {
    double pi = 0, term = 1.0;
    int denominator = 1;
    int sign = 1;
    
    while (fabs(term) > 1e-5) {
        pi += sign * term;
        denominator += 2;
        term = 1.0 / denominator;
        sign *= -1;
    }
    
    pi *= 4;
    cout << fixed << setprecision(6) << pi << endl;
    return 0;
}

關鍵點解析

1. 浮點字面量：1.0 而非 1，確保浮點除法。
2. 絕對值判斷：fabs(term) 處理負項。
3. 輸出格式：fixed << setprecision(6) 固定小數位。
4. 收斂速度：萊布尼茨公式收斂極慢（誤差 ~ 1/n），需 ~10萬項達到 1e-5 精度。工程上常用馬青公式、丘德諾夫斯基算法等快速收斂級數。

變體：不同停止條件

總結

本題是無限級數求和的入門範例。核心模式：初始化項 → 循環累加 → 更新項 → 檢查停止條件。理解「項的生成規律（分母遞增、符號交替）」與「浮點比較用絕對值」是關鍵。此模式廣泛適用於泰勒展開、傅里葉級數、數值積分等計算。