Java 算法練習：水仙花數（阿姆斯特朗數）查找與判斷

什麼是水仙花數？

水仙花數（Narcissistic Number），又稱阿姆斯特朗數或自戀數。指一個 n 位數，其各位數字的 n 次方之和等於該數本身。最經典的是三位數水仙花數：各位數字立方和等於原數。

例如：153 = 1³ + 5³ + 3³ = 1 + 125 + 27 = 153

三位數水仙花數完整查找（100-999）

public class NarcissisticNumberFinder {
    public static void main(String[] args) {
        System.out.println("三位數水仙花數有：");
        for (int num = 100; num <= 999; num++) {
            int hundred = num / 100;        // 百位
            int ten = (num % 100) / 10;     // 十位
            int unit = num % 10;            // 個位
            
            // 整數運算避免浮點誤差，效率高於 Math.pow()
            if (hundred*hundred*hundred + ten*ten*ten + unit*unit*unit == num) {
                System.out.println(num + " = " + hundred + "³ + " + ten + "³ + " + unit + "³");
            }
        }
    }
}

運行結果

三位數水仙花數有：
153 = 1³ + 5³ + 3³
370 = 3³ + 7³ + 0³
371 = 3³ + 7³ + 1³
407 = 4³ + 0³ + 7³

通用版：判斷任意輸入整數是否為水仙花數

import java.util.Scanner;

public class NarcissisticNumberChecker {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        System.out.print("請輸入一個正整數：");
        int num = sc.nextInt();
        
        if (isNarcissistic(num)) {
            System.out.println(num + " 是水仙花數！");
        } else {
            System.out.println(num + " 不是水仙花數。");
        }
    }
    
    /** 通用判斷邏輯：支持任意位數 */
    public static boolean isNarcissistic(int num) {
        if (num < 0) return false;
        
        String numStr = String.valueOf(num);
        int n = numStr.length(); // 位數
        int sum = 0;
        int temp = num;
        
        while (temp > 0) {
            int digit = temp % 10;
            sum += Math.pow(digit, n); // 通用 n 次方
            temp /= 10;
        }
        return sum == num;
    }
}

算法優化與擴展

1. 預計算優化（避免重複次方運算）

// 預計算 0-9 的 n 次方存入數組
int[] powers = new int[10];
for (int i = 0; i < 10; i++) powers[i] = (int) Math.pow(i, n);
// 循環中直接查表：sum += powers[digit];

2. n 位數水仙花數查找（n=3 到 7）

public static void findAllNarcissistic(int maxDigits) {
    for (int n = 3; n <= maxDigits; n++) {
        int start = (int) Math.pow(10, n-1);
        int end = (int) Math.pow(10, n) - 1;
        
        // 預計算 0-9 的 n 次方
        int[] pow = new int[10];
        for (int i = 0; i < 10; i++) pow[i] = (int) Math.pow(i, n);
        
        for (int num = start; num <= end; num++) {
            int sum = 0, temp = num;
            while (temp > 0) {
                sum += pow[temp % 10];
                temp /= 10;
            }
            if (sum == num) System.out.println(num + " (位數:" + n + ")");
        }
    }
}

已知水仙花數列表（OEIS A005188）

數學延伸

• 定理：n 位水仙花數最大值為 n × 9ⁿ。當 n ≥ 60 時，n × 9ⁿ < 10ⁿ⁻¹，故水仙花數有限個（共 88 個）
• 廣義水仙花數：允許不同位數使用不同冪次，或負數、小數擴展
• 應用場景：主要用於算法教學、面試考察位運算、循環邏輯、數學建模能力

常見面試陷阱

1. 負數處理：水仙花數定義為自然數，負數直接返回 false
2. 浮點精度：Math.pow() 返回 double，大數時可能精度丟失，建議整數乘法或預計算數組
3. 0 的處理：0 是 1 位水仙花數（0¹=0），但通常題目指「三位數」
4. 效率陷阱：暴力遍歷 10⁷ 以上範圍會超時，需數學剪枝或預計算

核心代碼模板：提取位數 → 累加次方和 → 比較。掌握「取位技巧：%10 取末位，/10 去末位」與「預計算優化」即可應對所有變體。