Java 二維數組矩陣乘法實現：標準三層循環算法詳解

矩陣乘法是線性代數基礎運算，亦是圖形學、機器學習、科學計算的核心。本文給出標準 O(n³) 三層循環實現，並說明維度匹配規則與優化方向。

數學定義

設 A 為 m×n 矩陣，B 為 n×p 矩陣，乘積 C = A×B 為 m×p 矩陣，元素公式：

C[i][j] = Σ (A[i][k] * B[k][j]) , k=0..n-1

前提：A 的列數 == B 的行數。

Java 接口與實現

public interface IMatrixMultiplier {
    int[][] multiply(int[][] a, int[][] b);
}

public class MatrixMultiplier implements IMatrixMultiplier {
    @Override
    public int[][] multiply(int[][] a, int[][] b) {
        // 1. 維度校驗
        if (a == null || b == null || a.length == 0 || b.length == 0) {
            throw new IllegalArgumentException("矩陣不能為空");
        }
        int aRows = a.length, aCols = a[0].length;
        int bRows = b.length, bCols = b[0].length;
        if (aCols != bRows) {
            throw new IllegalArgumentException("A的列數(" + aCols + ")必須等於B的行數(" + bRows + ")");
        }

        // 2. 結果矩陣初始化
        int[][] result = new int[aRows][bCols];

        // 3. 標準三層循環
        for (int i = 0; i < aRows; i++) {
            for (int j = 0; j < bCols; j++) {
                int sum = 0;
                for (int k = 0; k < aCols; k++) {
                    sum += a[i][k] * b[k][j];
                }
                result[i][j] = sum;
            }
        }
        return result;
    }
}

關鍵細節

1. 行優先訪問：Java 二維數組在內存中按行連續存儲，a[i][k] 與 b[k][j] 的訪問模式對緩存友好度不同（b 列訪問非連續），可考慮轉置 B 提升緩存命中。
2. 溢出風險：int 乘法累加可能溢出，生產環境建議用 long 或 BigInteger。
3. 邊界條件：空矩陣、非矩形數組（參差不齊的行長度）需防禦性檢查。

性能優化方向

單元測試示例

public class MatrixMultiplierTest {
    @Test
    public void testMultiply() {
        int[][] a = {{1, 2}, {3, 4}};
        int[][] b = {{5, 6}, {7, 8}};
        int[][] expected = {{19, 22}, {43, 50}};
        assertArrayEquals(expected, new MatrixMultiplier().multiply(a, b));
    }

    @Test(expected = IllegalArgumentException.class)
    public void testDimensionMismatch() {
        new MatrixMultiplier().multiply(new int[][]{{1,2,3}}, new int[][]{{1},{2}}); // 3≠2
    }
}

矩陣乘法雖基礎，卻是高性能計算的縮影。掌握標準實現、理解緩存行影響、知曉何時引入原生庫，是從「會寫代碼」到「寫好代碼」的關鍵一步。