計算機系統原理（九）二進制整數加法與減法運算詳解

引言

有限位寬導致溢出：兩正數相加得負數。C/Java 均表現一致。例：0x7FFFFFFF + 0x7FFFFFFF = -2。

無符號加法與逆元

無符號加法構成阿貝爾群，單位元 0。逆元公式：u' = 2^w - u（u≠0），0' = 0。

補碼加法與溢出

補碼加法先按無符號加法，再轉換：U2T_w((x+y) mod 2^w)。三種結果：正常、正溢出（減 2^w）、負溢出（加 2^w）。直觀公式見圖：

補碼逆元

除 TMin_w 自身為逆元外，其他 x' = -x。統一公式見圖：

減法運算

減法由加法替代：x - y = x + y'（位表示層面）。例 4 位無符號：5 - 4 → 5 + 12 = 17 → 1；0 - 1 → 0 + 15 = 15，補碼解釋為 -1。

小結

加減法原理闡明，下一章講乘除法。