電腦圖形學基石：座標變換完整推導——從座標架到矩陣、曲線曲面變換

座標架定義

struct PNT3D { double x, y, z; };
struct FRAME { PNT3D O, OX, OY, OZ; }; // 原點 + 三基矢量

1. 座標架外點 → 座標架內 (World → Local)

點 p 定義於世界座標系 (WC)。欲轉入 frame：

// 1. 平移至 frame 原點
PNT3D p1 = p - frame.O;

// 2. 投影至三基矢量 (點積)
PNT3D p2;
p2.x = p1 * frame.OX; // (p - O) · OX
p2.y = p1 * frame.OY;
p2.z = p1 * frame.OZ;

p2 即為 p 在 frame 中的局部座標。

2. 座標架內點 → 座標架外 (Local → World)

// 1. 線性組合三基矢量
PNT3D p1 = p.x * frame.OX + p.y * frame.OY + p.z * frame.OZ;

// 2. 加回原點位移
PNT3D p2 = p1 + frame.O;

3. 4x4 齊次矩陣表示 (Row-Major, Left-Multiply)

Local → World 矩陣 (M_L2W)

mat[0]  = OX.x; mat[1]  = OY.x; mat[2]  = OZ.x; mat[3]  = O.x;
mat[4]  = OX.y; mat[5]  = OY.y; mat[6]  = OZ.y; mat[7]  = O.y;
mat[8]  = OX.z; mat[9]  = OY.z; mat[10] = OZ.z; mat[11] = O.z;
mat[12] = 0;    mat[13] = 0;    mat[14] = 0;    mat[15] = 1;

驗證：[x y z 1] * M_L2W = [x*OX + y*OY + z*OZ + O, 1] ✓

World → Local 矩陣 (M_W2L = M_L2W⁻¹)

mat[0]  = OX.x; mat[1]  = OX.y; mat[2]  = OX.z; 
mat[3]  = -(O.x*OX.x + O.y*OX.y + O.z*OX.z);
mat[4]  = OY.x; mat[5]  = OY.y; mat[6]  = OY.z; 
mat[7]  = -(O.x*OY.x + O.y*OY.y + O.z*OY.z);
mat[8]  = OZ.x; mat[9]  = OZ.y; mat[10] = OZ.z; 
mat[11] = -(O.x*OZ.x + O.y*OZ.y + O.z*OZ.z);
mat[12] = 0;    mat[13] = 0;    mat[14] = 0;    mat[15] = 1;

推導關鍵：(p - O) · OX = p·OX - O·OX，故平移分量為 -O·OX 等。

4. 矩陣×點 運算 (Left-Multiply, Row-Major)

x = M[0][0]*Px + M[0][1]*Py + M[0][2]*Pz + M[0][3];
y = M[1][0]*Px + M[1][1]*Py + M[1][2]*Pz + M[1][3];
z = M[2][0]*Px + M[2][1]*Py + M[2][2]*Pz + M[2][3];

5. 參數曲線/曲面變換

參數方程：P(u) = [x(u), y(u), z(u)] 或 P(u,v) = [x(u,v), y(u,v), z(u,v)]

變換後：P'(u) = M * P(u)，逐分量套用矩陣乘法，得到新參數方程 [F1x(u), F1y(u), F1z(u)]。

6. 隱式曲面變換 (F(x,y,z)=0)

範例：球面 x²+y²+z²-R²=0

策略：

1. 嘗試解出參數方程：令 x=u, y=v → z = ±√(R²-u²-v²)
2. 對參數方程套用矩陣變換
3. 嘗試消去參數 u,v 回隱式形式 (代數運算極繁瑣)

7. 無法解析求解的隱式曲面

範例：F(x,y,z) = x⁵+y⁵+z⁵-1=0 (高次多項式)

替代方案：

• **數值法**：x=u, y=v 代入，用 **牛頓法/泰勒展開** 求 z 級數近似
• **隱式曲面光線追蹤**：直接對 F(x,y,z)=0 求光線交點 (Sphere Tracing / Marching Cubes)
• **SDF (Signed Distance Field)**：預計算距離場，GPU 即時渲染

總結：座標變換決策樹

需要變換幾何物件
    │
    ├─ 參數方程 (曲線/曲面) → 直接套用矩陣 → 完成
    │
    ├─ 隱式方程可解析求參數 → 求參數 → 套用矩陣 → (選擇性) 消參數 → 完成
    │
    └─ 隱式方程不可解析求參數
        ├─ 精確解析式需求 → 符號運算 (Mathematica/Maple) 或放棄
        ├─ 即時渲染需求 → SDF / Ray Marching / Marching Cubes (GPU)
        └─ 離線處理/工程近似 → 數值求解 + 參數化 → 套用矩陣