Java 列印楊輝三角形（帕斯卡三角）

經典組合數學視覺化

楊輝三角性質：每行首尾為 1，內部數字等於上一行左右兩數之和。第 n 行（0-indexed）對應二項式係數 C(n, k)。

二維陣列動態規劃法

public class PascalTriangle {
    public static void main(String[] args) {
        int rows = 10;
        int[][] triangle = new int[rows][];

        for (int i = 0; i < rows; i++) {
            triangle[i] = new int[i + 1];
            triangle[i][0] = triangle[i][i] = 1; // 首尾為 1
            for (int j = 1; j < i; j++) {
                triangle[i][j] = triangle[i-1][j-1] + triangle[i-1][j];
            }
        }

        // 列印置中對齊
        for (int i = 0; i < rows; i++) {
            // 前置空格
            for (int s = 0; s < rows - i - 1; s++) System.out.print("  ");
            for (int j = 0; j <= i; j++) {
                System.out.printf("%4d", triangle[i][j]);
            }
            System.out.println();
        }
    }
}

輸出範例（前 6 行）

         1
       1   1
     1   2   1
   1   3   3   1
 1   4   6   4   1
1   5  10  10   5   1

空間優化：單陣列滾動更新

int[] row = new int[rows];
for (int i = 0; i < rows; i++) {
    row[i] = 1;
    for (int j = i - 1; j > 0; j--) { // 逆向更新避免覆蓋
        row[j] += row[j-1];
    }
    // 列印 row[0..i]
}

空間複雜度從 O(n²) 降為 O(n)。

數學直接計算法

利用組合數公式 C(n,k) = C(n,k-1) * (n-k+1) / k 逐行計算，無需儲存上一行。