用新的高級加密標準（AES）保護資料安全（三）：ShiftRows、MixColumns 列混淆與 GF(2^8) 有限域數學基礎

ShiftRows：狀態矩陣行位移

• Row 0：左移 0 位
• Row 1：左移 1 位
• Row 2：左移 2 位
• Row 3：左移 3 位

MixColumns：最具技術深度的步驟

對狀態矩陣每欄進行 GF(2^8) 線性組合：

State[0,1] = (State[0,1]*0x01) + (State[1,1]*0x02) + (State[2,1]*0x03) + (State[3,1]*0x01)
例：0x09*0x01 + 0x60*0x02 + 0xE1*0x03 + 0x04*0x01 = 0x57

此處 + 為 XOR，* 為 GF(2^8) 乘法，非整數運算。

加密主迴圈結構

四步驟 SubBytes → ShiftRows → MixColumns → AddRoundKey 迴圈執行 Nr-1 次（例 192-bit 金鑰 Nr=12，迴圈 11 次）。最後一輪略過 MixColumns，執行 SubBytes → ShiftRows → AddRoundKey 結束。

GF(2^8) 有限域數學

• 元素集合：{0x00 ... 0xFF}（256 個值）。
• 加法 = XOR：a + b = a ^ b，結果仍在域內。
• 乘法：以 0x02 乘法為基礎：
  • b < 0x80：左移 1 位（b << 1）
  • b >= 0x80：左移 1 位後 XOR 0x1B（模多項式 x^8 + x^4 + x^3 + x + 1）
• 任意常數乘法分解為 2 的冪次和：
  • 0x03 = 0x02 + 0x01 → (b*0x02) ^ b
  • 0x0D = 0x08 + 0x04 + 0x01 → ((b*0x02*0x02*0x02) ^ (b*0x02*0x02) ^ b)
  • 解密係數：0x09, 0x0B, 0x0D, 0x0E 同理分解。