堆排序算法：原理、實現與性能分析

堆排序是原地、O(n log n) 最壞情況保證的比較排序算法，利用二叉堆數據結構實現，是系統級排序的常見選擇。

核心概念

• 大頂堆：父節點 ≥ 子節點，根節點為最大值
• 小頂堆：父節點 ≤ 子節點，根節點為最小值
• 堆化：將任意數組調整為滿足堆性質的結構

算法流程

1. 建堆：從最後一個非葉節點開始，自下而上調用 heapify
2. 排序：重複「交換堆頂與末尾元素、減小堆大小、重新堆化」

關鍵操作：Heapify

void heapify(int arr[], int n, int i) {
    int largest = i;
    int left = 2*i + 1;
    int right = 2*i + 2;
    
    if (left < n && arr[left] > arr[largest]) largest = left;
    if (right < n && arr[right] > arr[largest]) largest = right;
    
    if (largest != i) {
        swap(&arr[i], &arr[largest]);
        heapify(arr, n, largest);  // 遞歸向下調整
    }
}

完整 C 實現

#include <stdio.h>

void swap(int *a, int *b) {
    int t = *a; *a = *b; *b = t;
}

void heapify(int arr[], int n, int i) {
    int largest = i;
    int l = 2*i + 1, r = 2*i + 2;
    if (l < n && arr[l] > arr[largest]) largest = l;
    if (r < n && arr[r] > arr[largest]) largest = r;
    if (largest != i) {
        swap(&arr[i], &arr[largest]);
        heapify(arr, n, largest);
    }
}

void heap_sort(int arr[], int n) {
    // 建堆：從最後非葉節點開始
    for (int i = n/2 - 1; i >= 0; i--)
        heapify(arr, n, i);
    
    // 排序：逐個提取堆頂
    for (int i = n-1; i > 0; i--) {
        swap(&arr[0], &arr[i]);  // 最大值移至末尾
        heapify(arr, i, 0);      // 縮小堆範圍並調整
    }
}

int main() {
    int arr[] = {12, 11, 13, 5, 6, 7};
    int n = sizeof(arr)/sizeof(arr[0]);
    heap_sort(arr, n);
    for (int i = 0; i < n; i++) printf("%d ", arr[i]);
    return 0;
}

複雜度分析

工程優化技巧

• 迭代替代遞歸：消除函數調用開銷，避免棧溢出
• 底層優化：對小數組切換插入排序（如 n < 16）
• 緩存友好：順序訪問模式利於 CPU 緩存

應用場景

• 嵌入式系統：固定 O(n log n)、O(1) 空間
• 實時系統：最壞情況時間可預測
• Top-K 問題：建最小堆維護前 K 大元素
• 外部排序：作為內部排序子程序

堆排序雖不如快速排序常數因子小，但其確定性能使其在關鍵系統中不可替代。