PID 控制演算法詳解（一）：三大參數 Kp、Ki、Kd 物理意義與作用

前言

PID（Proportional-Integral-Derivative）是工業控制最經典的回授控制演算法。本系列三文將從原理、整定、程式碼實作三方面完整解析。首篇聚焦三參數物理意義。

系統模型：恆溫水壺

• 目標溫度 U_set = 60°C
• 當前溫度 U_now
• 控制輸出 U_k（PWM 佔空比 0~255，對應加熱功率）
• 誤差 E = U_set - U_now

1. 比例項 - Kp：當下誤差的放大器

公式：U_Kp = Kp * E

• 誤差越大 → 輸出越大（加熱更強）。
• 誤差為 0 → 輸出 0（不加熱）。
• 缺陷：純 P 控制存在靜態誤差。例如環境散熱大，需持續功率維持溫度，但 E=0 時輸出為 0，溫度會穩定在目標以下。

// 範例：Kp=10
E = 60 - 49 = 11  → U_Kp = 110
E = 60 - 20 = 40  → U_Kp = 400 → 飽和限制 255
E = 60 - 61 = -1  → U_Kp = -10 → 限制 0 (不加熱)

2. 積分項 - Ki：歷史誤差的累積器

公式：U_Ki = U_Ki_prev + Ki * E * dt（離散化：U_Ki += Ki * E / F，F=1/dt 為採樣頻率）

• 隨時間累積誤差，即使 E 很小，只要持續存在，積分項會持續增長。
• 消除靜態誤差：上例中溫度卡在 59°C，E=1 持續積分，最終輸出增大推高溫度至 60°C。
• 副作用：超調。接近目標前累積的積分量會推著系統「衝過頭」，需配合 Kd 抑制。

3. 微分項 - Kd：未來趨勢的預測器

公式：U_Kd = Kd * (E_now - E_prev) / dt（離散化：U_Kd += Kd * (E_now - E_prev) * F）

• 反映誤差變化率（速度）。
• 溫度上升快 → E 變化負值大 → 微分項輸出負值 → 減弱加熱，預防超調。
• 停止加熱後餘溫導致溫度繼續上升，微分項可提前感知並減輕輸出。

4. 完整 PID 輸出

U_k = U_Kp + U_Ki + U_Kd

單片機無 FPU 時，常用定點數：參數放大 2^n，最終輸出右移 n 位（等同除以 2^n）。

5. 參數效應總結表

6. 維基百科動畫直觀理解

強烈建議觀看 英文維基 PID 頁面 的三張動圖：

• P：彈簧拉力，誤差即位移。
• I：水桶漏水，積分是水位。
• D：阻尼器，阻礙快速變化。

下一篇將介紹實務整定方法：手動試誤法與 Ziegler-Nichols 經典整定法。