狼追兔子追擊問題：C 語言數值模擬解法

問題描述

• 兔子起點 O(0,0)，洞穴 B(0,20)（正北 20 公尺）
• 狼起點 A(33,0)（兔子正東 33 公尺）
• 狼速度是兔子的 2 倍，時刻朝向兔子當前位置移動
• 問：兔子到達洞穴前會被捕獲嗎？

數值模擬法（歐拉法）

將時間離散化為小步長 Δt，每步更新雙方位置：

• 兔子：直線向北，Ty += v_rabbit * Δt
• 狼：朝向兔子方向移動 v_wolf * Δt，分解 x/y 分量

核心演算法

double dist() { return sqrt((Tx-Lx)^2 + (Ty-Ly)^2); }

void next_wolf()
{
    double dx = fabs(Tx - Lx), dy = fabs(Ty - Ly);
    double ldx, ldy;
    if (dx > 1e-11) {
        double k = dy / dx;
        ldx = sqrt(Ld*Ld / (k*k + 1));
        ldy = k * ldx;
    } else {
        double dk = dx / dy;
        ldy = sqrt(Ld*Ld / (dk*dk + 1));
        ldx = dk * ldy;
    }
    Lx -= ldx;  // 狼在東邊，向西移動
    Ly += ldy;  // 向北移動
}

void next_rabbit() { Ty += Td; }  // Td = 兔子單步距離

void simulate()
{
    Tx=0; Ty=0; Lx=33; Ly=0;
    Td = 0.1; Ld = 0.2;  // 狼速度 2x

    while (dist() >= Td) {
        next_wolf();  // 狼先動（追擊者反應）
        next_rabbit();
        printf("兔子:(%.2f,%.2f) 狼:(%.2f,%.2f)\n", Tx,Ty,Lx,Ly);
    }
}

模擬結果

程式輸出顯示：

• 兔子到達 y=20 時，狼位於 (0.47, 18.00)，距離約 2 公尺
• 狼在 y ≈ 22 公尺 才追上兔子
• 結論：兔子成功進洞，未被捕獲

推廣結論

數學驗證（解析解）

此為經典追擊曲線問題。極坐標解析解顯示：速度比 k=2 時，狼軌跡為拋物線型曲線，追上點距離起點 4/3 * 初始距離。本例初始距離 33，追上點 44，遠大於 20。

程式碼優化建議

• 使用 Runge-Kutta 4 階 提高精度
• 自適應步長控制
• 向量化運算避免重複 sqrt