C語言數學庫實踐：泰勒級數手寫sin/cos函式實現

編輯：關於C語言

數學原理

正弦與餘弦函數可通過泰勒級數展開計算：

sin(x) = x - x³/3! + x⁵/5! - x⁷/7! + ...
cos(x) = 1 - x²/2! + x⁴/4! - x⁶/6! + ...

其中 x 為弧度制。程式中將輸入角度轉換：rad = deg * PI / 180。

原始代碼分析與優化

1. 階乘函式遞歸實現

int factorial(int n) {
    if (n <= 1) return 1;
    return n * factorial(n - 1);
}

缺陷：int 型別 13! 即溢位（>2¹⁷），且遞歸開銷大。建議改用迭代並預計算或使用 double 累乘。

2. 級數求和終止條件

原代碼使用 pow(x,i)/factorial(i) > 1e-7 作為迴圈條件，存在效能問題：

每次迴圈重複計算冪與階乘，時間複雜度 O(n²)。
大 x 時項數增多，階乘快速溢位。

3. 優化策略：遞推公式

利用項與前項關係：

// sin: term_k = -term_{k-1} * x² / ((2k)*(2k-1))
// cos: term_k = -term_{k-1} * x² / ((2k-1)*(2k-2))

單次迴圈累加，避免重複計算，複雜度降為 O(n)。

高效實現版本

#include <stdio.h>
#include <math.h>

#define PI 3.14159265358979323846
#define EPS 1e-12

double my_sin(double x) {
    // 區間縮減：利用週期性將 x 映射到 [-π, π]
    x = fmod(x, 2*PI);
    if (x < -PI) x += 2*PI;
    else if (x > PI) x -= 2*PI;

    double term = x, sum = x;
    int n = 1;
    while (fabs(term) > EPS) {
        term *= -x*x / ((2*n)*(2*n+1));
        sum += term;
        n++;
    }
    return sum;
}

double my_cos(double x) {
    x = fmod(x, 2*PI);
    if (x < -PI) x += 2*PI;
    else if (x > PI) x -= 2*PI;

    double term = 1.0, sum = 1.0;
    int n = 1;
    while (fabs(term) > EPS) {
        term *= -x*x / ((2*n-1)*(2*n));
        sum += term;
        n++;
    }
    return sum;
}

int main() {
    double deg;
    printf("Enter angle in degrees: ");
    if (scanf("%lf", °) != 1) return 1;

    double rad = deg * PI / 180.0;
    printf("sin(%.2f°) = %.10f (lib: %.10f)\n", deg, my_sin(rad), sin(rad));
    printf("cos(%.2f°) = %.10f (lib: %.10f)\n", deg, my_cos(rad), cos(rad));
    return 0;
}