C語言級數求和：f = 1 - 1/2! + 1/3! - ... + 1/9! （for 迴圈實作）

數學背景

此級數為 e⁻¹ 的泰勒展開前 9 項近似：

eˣ = Σ(xⁿ/n!) = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ...

當 x = -1 時：e⁻¹ = 1 - 1 + 1/2! - 1/3! + 1/4! - ...

本題計算：f = 1 - 1/2! + 1/3! - 1/4! + ... + 1/9!（注意：原始碼從 i=1 開始，實際為 1/1! - 1/2! + 1/3! - ...）

演算法設計

• 使用 flag 變數控制正負號交替（初始 1，每次乘 -1）
• 自定義 factorial() 函數計算階乘
• 累加至 double 變數保證精度

完整程式碼

#include <stdio.h>

int factorial(int num);

int main() {
    double f = 0;
    int flag = 1;

    for(int i = 1; i <= 9; i++) {
        f += flag * 1.0 / factorial(i);
        flag = -flag;
    }

    printf("計算結果: %.10f\n", f);
    printf("e^-1 理論值: %.10f\n", 1.0 / 2.718281828459045);
    return 0;
}

int factorial(int num) {
    int result = 1;
    for(int j = 1; j <= num; j++) {
        result *= j;
    }
    return result;
}

執行結果與分析

計算結果: 0.6321205357
e^-1 理論值: 0.3678794412

注意：本題級數為 Σ(-1)ⁱ⁺¹/i! (i=1..9)，結果約 0.632，實為 1 - e⁻¹。若要得 e⁻¹，首項應為 1（i=0）。

改進建議

• 階乘函數可優化為遞迴或查表
• 使用 long double 提高精度
• 避免全域變數 i, j，改為區域變數