大數運算核心邏輯：突破硬體位寬限制的字串模擬加法實作

32 位 CPU 下 int 僅能表示約 40 億，64 位雖擴大但仍有上限。當需處理超大整數時，必須模擬人工豎式運算邏輯。本文解析大整數加法的核心思想：先逐位相加不進位，再統一處理進位，並提供完整 C 語言實作。

一、人工運算邏輯回顧

1. 記住 9×9 乘法表與個位加減法
2. 所有乘法可轉化為加法與左移，減法轉化為減法與右移
3. 大數運算本質：將大數拆解為單位位陣列，模擬豎式運算

二、大整數加法實作

int* big_int_add(int src1[], int length1, int src2[], int length2) {
    if (NULL == src1 || 0 >= length1 || NULL == src2 || 0 >= length2) return NULL;

    int length = (length1 > length2 ? length1 : length2) + 1; // 預留進位位
    int* dest = (int*)malloc(sizeof(int) * length);
    assert(NULL != dest);
    memset(dest, 0, sizeof(int) * length);

    int smaller = (length1 < length2) ? length1 : length2;
    int index;

    // 階段一：對應位相加，不處理進位
    for (index = 0; index < smaller; index++)
        dest[index] = src1[index] + src2[index];

    // 階段二：處理較長數組剩餘位
    if (length1 > length2) {
        for (; index < length1; index++) dest[index] = src1[index];
    } else {
        for (; index < length2; index++) dest[index] = src2[index];
    }

    // 階段三：統一處理進位（核心創新點）
    int prefix = 0;
    for (index = 0; index < length; index++) {
        dest[index] += prefix;
        prefix = dest[index] / 10;
        dest[index] %= 10;
    }
    return dest;
}

三、演算法特點分析

• 低位在前：陣列索引 0 對應個位，索引遞增對應更高位，符合人工運算習慣
• 分離關注點：先純加法，再統一進位，邏輯清晰、易於除錯
• 空間預留：結果長度取 max(len1, len2) + 1，確保最高位進位有空間

四、延伸思考

理解加法後，可嘗試實作：

1. 減法：借位機制，需處理被減數小於減數的情況（結果為負）
2. 乘法：模擬豎式乘法，單位位相乘後按位置偏移累加
3. 除法：模擬長除法，試商、相乘、相減、下拉下一位

核心皆為「將大數拆解為單位位陣列，模擬人工豎式邏輯」。

結語

大數運算不依賴硬體指令，純軟體模擬即可突破位寬限制。此思想廣泛應用於密碼學（RSA 大數模運算）、高精度科學計算等領域。掌握「分階段處理」與「陣列模擬位運算」是關鍵。