float 與 double 範圍、精度與存儲結構深度解析

存儲結構（IEEE 754）

數值表示：(-1)^S × 1.M × 2^(E - bias)，其中 M 為尾數小數部分，隱含整數位 1；bias 為指數偏移（float 127，double 1023）。

數值範圍

• 指數範圍：
  • float：E ∈ [1, 254]（0 和 255 保留），真指數 e ∈ [-126, +127]。
  • double：E ∈ [1, 2046]，真指數 e ∈ [-1022, +1023]。
• 絕對值最大值（正規數）：
  • float：(2 - 2^-23) × 2^127 ≈ 3.4028235 × 10^38
  • double：(2 - 2^-52) × 2^1023 ≈ 1.7976931348623157 × 10^308
• 最小正正規數：
  • float：2^-126 ≈ 1.17549435 × 10^-38
  • double：2^-1022 ≈ 2.2250738585072014 × 10^-308
• 非正規數（次正規數）可表示更小值（float 至 ~1.4e-45），但精度極低。

精度（有效數字）

• 二進制有效位：float 24 位（含隱含 1），double 53 位。
• 十進制有效位數：
  • float：log10(2^24) ≈ 7.22 → 6~7 位（保證 6 位）。
  • double：log10(2^53) ≈ 15.95 → 15~16 位（保證 15 位）。
• 機器 epsilon (ε)：1 與下一個可表示數的差。
  • float：2^-23 ≈ 1.19e-7
  • double：2^-52 ≈ 2.22e-16

EPSILON 由來與比較

浮點數與 0 比較大小，或判斷相等，需引入容差：

const float EPS = 1e-6f;  // 對應 float 精度
const double EPS = 1e-12; // 對應 double 精度
if (fabs(a - b) <= EPS) // 視為相等

ε 直接源於尾數位數：最小可區分的相對差異約為 2^(-尾數位)。

常見誤區

1. float 範圍到 10^38 就以為精度也高 → 範圍由指數決定，精度由尾數決定，兩者獨立。
2. 用 float 存錢/精確測量 → 0.1 無法精確表示，累加誤差巨大，必用定點或 decimal。
3. 直接 == 比較 → 絕大多數計算結果有微小誤差，必用相對/絕對誤差判斷。
4. 以為 double 只是「更大的 float」 → 精度提升 10^9 倍，質的飛躍，科學計算首選 double。

總結

float：32 位，範圍 ~10^±38，精度 6~7 位。
double：64 位，範圍 ~10^±308，精度 15~16 位。
指數決定「能表示多大/多小」，尾數決定「能分多細」。現代 CPU double 運算無性能劣勢，除非嵌入式/顯存/帶寬極其受限，默認使用 double。