float 型有效位數實測：精度隨數值大小變化

現象

float（IEEE 754 單精度）有 23 位尾數 + 1 位隱含首位 1，約 7 位十進制有效數字。但實際可保譆的十進制位數隨數值量級變化：整數部分佔用更多二進制位，留給小數部分的精度下降。

實測代碼

#include 
using namespace std;

int main() {
    float a = 2.31111111111f;
    cout << a << endl;        // 2.31111
    float b = 22.221111111111f;
    cout << b << endl;        // 22.2211
    float c = 0.22111111111f;
    cout << c << endl;        // 0.221111
    return 0;
}

輸出結果

2.31111
22.2211
0.221111

分析

總有效數字約 6~7 位，符合理論（2³ ≈ 8.3 → 6~7 位十進制）。整數部分越大，小數精度越低。

原理回顧

• float：1 位符號 + 8 位指數 + 23 位尾數。有效二進制位 = 24（含隱含 1）。
• 十進制有效位數 ≈ log₁₀(2²⁴) ≈ 7.22，實際保證 6 位，典型 7 位。
• 輸出流 operator<< 默認精度 6 位總有效數字（非小數位），故觀察到上述現象。

最佳實踐

1. 需高精度 → 用 double（15~16 位）或 long double。
2. 財務/精確計算 → 用定點數（整數存分/厘）或十進制庫。
3. 比較浮點數 → 用相對/絕對誤差 eps，絕不直接 ==。
4. 輸出控制 → cout << setprecision(10) << fixed 可強制顯示更多位，但超出精度的位無意義。

總結

float 只有約 6~7 位十進制有效數字，且隨數值增大小數精度遞減。實測驗證了這一特性：2.31111 (6 位)、22.2211 (6 位)、0.221111 (6 位)。工程中嚴禁用 float 做精度敏感計算，首選 double。