補碼原理深度解析：為什麼計算機用補碼表示有號整數

三種編碼方式對比（以 4 位元為例）

1. 原碼

• 最高位為符號位（0 正、1 負），其餘為數值
• 範圍：-7 ~ +7，但 0 有兩種表示（0000=+0、1000=-0）
• 減法需單獨處理符號，硬體複雜

2. 反碼

• 負數 = 正數按位取反
• 0 仍有兩種表示（0000=+0、1111=-0）
• 減法可用加法器：A - B = A + (~B)，但需處理雙重 0

3. 補碼（現代標準）

• 負數 = 正數取反 + 1
• 0 唯一表示（0000）
• 範圍：-8 ~ +7（比原碼/反碼多表示 -8）
• 減法直接用加法器：A - B = A + (~B + 1)，無特殊情況

模數系統視角（鐘面模型）

4 位元系統模數 M = 16。位元模式 0000~1111 對應鐘面 0~15 刻度。

• 補碼中 1111 代表 -1（順時針 15 格 = 逆時針 1 格）
• 1000 代表 -8
• 加減法統一為模 M 運算，硬體極簡

「取反加一」定理的本質

+5 = 0101
~5 = 1010
~5+1 = 1011 = -5 (補碼)

// 驗證：0 - 5
0000 - 0101 = 0000 + 1011 = 1011 = -5 ✓

此定理非任意規定，而是模數系統中「加法逆元」的自然結果。

擴展到實際位寬

• 8 位元（char）：模數 256，範圍 -128 ~ 127
• 32 位元（int）：模數 2³²，範圍 -2³¹ ~ 2³¹-1
• 64 位元（long long）：模數 2⁶⁴

軟體視角的型別解讀

記憶體中位元模式 11111111 可解讀為：

• unsigned char：255
• signed char：-1

由指令集（有號/無號指令）與旗標（進位/溢位旗標）決定語意。

結論

補碼將減法轉為加法、消除雙重零、最大化表示範圍、硬體實作最簡單，成為現代計算機通用的有號整數表示法。