C語言三重循環求解水仙花數（三位數自戀數）完整實現

什麼是水仙花數？

水仙花數（Narcissistic Number），又稱阿姆斯壯數，是指一個三位數，其各位數字立方和等於該數本身。即：

abc = a³ + b³ + c³，其中 a ∈ [1,9]，b,c ∈ [0,9]。

暴力枚舉法：三重循環窮舉

最直觀的解法是枚舉百位、十位、個位所有組合，驗證立方和條件。

#include <stdio.h>

int main() {
    printf("水仙花數有：\n");
    
    for (int i = 1; i <= 9; i++) {        // 百位：1-9
        for (int j = 0; j <= 9; j++) {    // 十位：0-9
            for (int k = 0; k <= 9; k++) { // 個位：0-9
                int sum_cubes = i*i*i + j*j*j + k*k*k;  // 立方和
                int number    = i*100 + j*10 + k;       // 實際數值
                
                if (sum_cubes == number) {
                    printf("%d ", number);
                }
            }
        }
    }
    printf("\n");
    return 0;
}

執行結果

水仙花數有：
153 370 371 407 

驗證過程示例

複雜度分析

• 時間複雜度：O(9×10×10) = O(900)，常數級，極快
• 空間複雜度：O(1)，僅使用少量變數

優化與擴展思路

1. 預計算立方表（避免重複乘法）

int cube[10];
for (int d = 0; d <= 9; d++) cube[d] = d*d*d;

// 循環內直接用 cube[i] + cube[j] + cube[k]

2. 推廣至 n 位數（廣義水仙花數）

// 判斷任意正整數是否為 n 位自戀數
bool is_narcissistic(int num) {
    int original = num;
    int digits = 0, sum = 0;
    int temp = num;
    
    while (temp > 0) { digits++; temp /= 10; }
    temp = num;
    while (temp > 0) {
        int d = temp % 10;
        int p = 1;
        for (int i = 0; i < digits; i++) p *= d;
        sum += p;
        temp /= 10;
    }
    return sum == original;
}

3. 已知數學結論

十進位下共有 88 個自戀數，最大為 39 位數：115132219018763992565095597973971522401。

教學價值總結

水仙花數是巢狀循環、數位拆解、條件判斷的經典綜合練習，適合初學者鞏固：

• 多重循環控制變數範圍
• 整數拆解數位技巧（/10, %10）
• 數學問題向程式邏輯的轉化