C語言級數求和：三種迴圈實現 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... + 1/99 - 1/100

C語言級數求和：三種迴圈實現 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... + 1/99 - 1/100

交替調和級數 S = Σ (-1)^(k+1) / k (k=1..100) 是迴圈控制與正負號切換的經典練習。本文展示 for、while、do-while 三種寫法，並分析浮點精度與優化技巧。

方法一：for 迴圈

#include <stdio.h>

int main() {
    double sum = 0.0;
    int sign = 1;  // 正負號：1, -1, 1, -1...
    
    for (int i = 1; i <= 100; i++) {
        sum += sign * (1.0 / i);  // 1.0 強制浮點除法
        sign = -sign;             // 翻轉正負號
    }
    printf("sum = %.10f\n", sum);  // 0.6881721793
    return 0;
}

方法二：while 迴圈

int main() {
    double sum = 0.0;
    int sign = 1;
    int i = 1;
    
    while (i <= 100) {
        sum += sign * (1.0 / i);
        sign = -sign;
        i++;
    }
    printf("sum = %.10f\n", sum);
    return 0;
}

方法三：do-while 迴圈

int main() {
    double sum = 0.0;
    int sign = 1;
    int i = 1;
    
    do {
        sum += sign * (1.0 / i);
        sign = -sign;
        i++;
    } while (i <= 100);
    printf("sum = %.10f\n", sum);
    return 0;
}

三種迴圈對比

關鍵技術細節

1. 正負號切換：sign = -sign 比 pow(-1, i) 高效百倍，避免函數調用與浮點運算。
2. 浮點除法：1.0 / i 強制雙精度運算；1 / i 為整數除法，i>1 時結果全為 0。
3. 累加順序影響精度：由小項到大項累加（反向迴圈）可減少誤差，但 100 項雙精度誤差已極小（~1e-16）。

數學背景與驗證

交替調和級數收斂至 ln(2) ≈ 0.6931471806。100 項部分和：

S_100 = 0.688172179310195...
ln(2)   = 0.693147180559945...
誤差    ≈ 0.004975 (約 1/201，符合萊布尼茨判別法誤差界)

進階：Kahan 求和算法提高精度

double kahan_sum() {
    double sum = 0.0, c = 0.0;  // c 為補償項
    int sign = 1;
    for (int i = 1; i <= 100; i++) {
        double term = sign * (1.0 / i);
        double y = term - c;
        double t = sum + y;
        c = (t - sum) - y;
        sum = t;
        sign = -sign;
    }
    return sum;
}

總結

**for 迴圈是已知次數迭代的首選**，結構清晰、語意明確。掌握 sign = -sign 正負號翻轉技巧、強制浮點除法、累加順序對精度的影響，是數值計算程式設計的基本功。