C語言整數表示與位運算全攻略：原碼反碼補碼到實戰技巧

機器數與真值

• 機器數：計算機內部二進制表示，最高位為符號位（0 正、1 負）
• 真值：機器數對應的實際數學值
• 8 位機器數範圍：`[10000000, 01111111]` → 真值 `[-127, +127]`（原碼）

三大編碼體系

為什麼計算機統一採用補碼？

1. 統一加法器：減法轉為加法（`A - B = A + (-B)`），符號位參與運算，硬件簡單
2. 零表示唯一：避免 `+0/-0` 判邏輯
3. 擴展範圍：多表示一個最小值 `-128`（`10000000`）
4. 溢出自然截斷：模 `2^n` 運算，高位丟棄即為正確結果

驗證：`1 + (-1)` 在補碼中 → `00000001 + 11111111 = 100000000` → 截斷高位 → `00000000` = 0 ✓

位運算完整速查表

位運算實戰技巧庫

1. 奇偶判斷（極速）

if (n & 1) puts("奇數"); else puts("偶數");  // 比 n%2 快，無分支預測失敗

2. 無臨時變量交換

a ^= b; b ^= a; a ^= b;  // 任意類型，無溢出風險

3. 2 的冪次判斷/對齊

// 判斷是否為 2 的冪次
bool is_pow2(unsigned n) { return n && !(n & (n-1)); }

// 向上對齊到 2 的冪次（如內存對齊）
size_t align_up(size_t n, size_t alignment) {
    return (n + alignment - 1) & ~(alignment - 1);
}

4. 快速乘除優化

• `x * 8` → `x << 3`
• `x / 8` → `x >> 3`（正數/無符號）
• 編譯器 `-O2` 會自動優化，手寫僅用於嵌入式無優化編譯器或特定算法（如堆索引計算 `i>>1`）

5. 位掩碼提取/設置/清除/翻轉

#define BIT(n) (1U << (n))
#define GET(x, n) ((x) & BIT(n))
#define SET(x, n) ((x) |= BIT(n))
#define CLR(x, n) ((x) &= ~BIT(n))
#define FLIP(x, n) ((x) ^= BIT(n))

補碼視角的模運算統一理論

有限位寬 `w` 下，補碼運算等價於 **模 `2^w` 同餘運算**：

• 無符號數：`[0, 2^w-1]` 完整剩餘系
• 有符號數：`[-2^{w-1}, 2^{w-1}-1]` 對稱剩餘系
• 轉換：`(signed)x = (x < 2^{w-1}) ? x : x - 2^w`

這解釋了為什麼 `unsigned` 與 `signed` 混合運算按無符號規則進行（C 標準規定），且補碼加減乘指令完全通用。