經典數學題：一整數加 100 後為完全平方數，再加 168 仍為完全平方數，求該數

問題建模與數學轉化

設該整數為 x。根據題意：

• x + 100 = a² (a 為整數)
• x + 268 = b² (b 為整數，因 100+168=268)

兩式相減得：b² - a² = 168，即 (b - a)(b + a) = 168。

因式分解窮舉法

設 m = b - a, n = b + a，則 m * n = 168，且 m, n 同奇偶（因 b = (m+n)/2, a = (n-m)/2 需為整數）。

168 的因數對（同奇偶）：

驗證結果

• x = 21：21+100=121=11²；21+268=289=17² ✓
• x = 261：261+100=361=19²；261+268=529=23² ✓
• x = 1581：1581+100=1681=41²；1581+268=1849=43² ✓
• x = -99：-99+100=1=1²；-99+268=169=13² ✓（負整數亦滿足條件）

C 語言暴力求解實現（教學演示）

#include <stdio.h>
#include <math.h>

int main() {
    long int i, x, y;
    printf("滿足條件的整數有：\n");
    for (i = -100000; i <= 100000; i++) { // 擴展到負數範圍
        x = sqrt(i + 100);
        y = sqrt(i + 268);
        // 判斷完全平方數：開方後平方等於原數
        if (x * x == i + 100 && y * y == i + 268) {
            printf("%ld ", i);
        }
    }
    printf("\n");
    return 0;
}

運行輸出

滿足條件的整數有：
-99 21 261 1581

算法優化思路

1. 數學法 O(1)：直接因式分解 168，如上表所示，無需遍歷。
2. 優化遍歷範圍：由 b² - a² = 168 可知 b > a ≥ 0，遍歷 a 即可，計算 b² = a² + 168 判斷是否為完全平方數，範圍縮減至 sqrt(MAX)。
3. 整數開方優化：避免浮點 sqrt 精度問題，可用二分查找或牛頓法實現整數開方。

總結

本題核心在於將「完全平方數」條件轉化為平方差因式分解模型。數學解法優於暴力枚舉，體現了「化繁為簡」的算法思想。C 語言實現時需注意 sqrt 浮點精度陷阱，工程中推薦使用整數運算判斷完全平方數。