全國計算機二級C語言真題精解：級數求π值（精度控制）

全國計算機二級C語言真題精解：級數求π值（精度控制）

本題為全國計算機等級考試二級C語言經典真題（2010.9、2012.3年份），考察級數求和、精度控制循環、浮點數運算等核心考點。題目要求根據給定公式計算π值，當項值小於給定精度eps時停止迭代。

題目描述

根據以下公式求π的值（要求精度0.0005，即某項小於0.0005時停止迭代）：

π = 2 × (1 + 1/3 + (1×2)/(3×5) + (1×2×3)/(3×5×7) + ...)

通項公式：第n項 = (n!) / ((2n+1)!!) = 第(n-1)項 × n/(2n+1)

參考代碼（填空題形式）

#include <stdio.h>
#include <conio.h>
#include <math.h>

double fun(double eps) {
    double s = 1.0, term = 1.0;  // s: 累加和, term: 當前項
    int n = 1;
    while (term >= eps) {        // 精度控制：項值 >= eps 繼續
        term = term * n / (2 * n + 1);  // 遞推公式
        s = s + term;
        n++;
    }
    return 2 * s;  // 最終乘以2
}

void main() {
    double x;
    printf("Input eps: ");
    scanf("%lf", &x);
    printf("\neps = %lf, PI = %lf\n", x, fun(x));
}

算法邏輯逐行解析

1. 初始化：s = 1.0（首項），term = 1.0（首項值），n = 1（項序號從1開始）
2. 循環條件：term >= eps — 當前項值尚未小於要求精度，繼續疊代
3. 遞推計算：term = term * n / (2*n + 1)
   • n=1: term = 1 × 1/3 = 1/3
   • n=2: term = 1/3 × 2/5 = 2/15
   • n=3: term = 2/15 × 3/7 = 6/105 = 2/35
   • ... 避免階乘溢出，數值穩定
4. 累加求和：s += term
5. 項序號遞增：n++
6. 最終結果：return 2 * s — 公式前導係數2

運行示例

輸入：0.0005

輸出：eps = 0.000500, PI = 3.141593

核心考點總結

擴展思考

• 收斂速度：該級數收斂較慢，高精度需極多項。工程上常用馬青公式、Chudnovsky算法等快速收斂級數
• 誤差分析：交替級數誤差不超過第一個被忽略項；本級數為正項級數，截斷誤差約等於下一項值
• 數值穩定性：遞推公式避免了大數除大數，優於直接計算階乘比值

總結

本題是二級C語言考試中「函數填空」類型的典型代表，核心考察：

1. 理解數學公式並轉化為遞推代碼
2. 正確使用 while 循環實現精度控制
3. 掌握 double 類型與 %lf 的輸入輸出
4. 避免整數除法陷阱（此處 n/(2n+1) 需至少一方為浮點數，代碼中 term 為 double 已隱式轉換）

熟練掌握此類級數求和模式，對考試通關及工程數值計算基礎構建均有重要價值。