在上一篇文章「使用快速傅立葉變換計算大整數乘法」中，我們詳細探討了利用快速傅立葉變換（FFT）實現大整數乘法的原理。本文將進一步展示如何應用該原理，構建一個功能完整的靜態類 BigArithmetic，提供任意精度的算術運算能力，包括加減乘除、平方根、倒數等核心運算。
BigArithmetic 採用以 100 為基數（Base = 100）的位元組陣列來表示大整數，陣列首元素存放最高有效位。這種設計在儲存效率與運算便利性之間取得了平衡。所有運算均直接對位元組陣列進行，避免了中間格式轉換的開銷。
類別的第一個核心方法是 ComplexFFT，實現了複數的快速傅立葉變換。由於 C# 內建不支援複數型別，採用實數陣列交替存放實部與虛部的方式。演算法基於 Danielson-Lanczos 引理，將長度為 N 的 DFT 分解為兩個長度為 N/2 的 DFT，透過位序顛倒重排與 log₂N 層疊代完成。為提升效率，三角函數遞歸計算僅在外層迴圈呼叫，內層透過遞歸關係更新旋轉因子。
針對實數輸入序列，RealFFT 將 N 個實數點打包為 N/2 個複數點，呼叫 ComplexFFT 後再分離重組，將儲存與運算量均減半。此法廣泛應用於訊號處理與大整數乘法的卷積運算中。
類別提供了完整的基礎運算組件：
Compare 逐位比較兩陣列大小。Negative 計算陣列的補碼，支援減法實現。Add、Subtract 採用逐位進位/借位邏輯，另提供 Add(byte[] sum, byte[] augend, int n, byte addend) 針對單位元加法優化。Divide 實現大整數除以單位元，採用長除法逐位試商。Multiply 是本類別的亮點。將兩個大整數轉換為實數陣列，經 RealFFT 變換至頻域，對應頻率分量相乘（複數乘法），再經逆變換回時域得到卷積結果，最後統一處理進位。此法時間複雜度為 O(N log N)，遠優於傳統 O(N²) 逐位相乘，適用於超大整數運算。
DivRem 採用「倒數乘法」策略：先以牛頓迭代法 Uᵢ₊₁ = Uᵢ(2 - V·Uᵢ) 求除數倒數（二次收斂），再乘以被除數得商。Inverse 獨立提供倒數運算，同樣基於牛頓迭代。迭代終止條件為近似值收斂至 1，即 V·U ≈ 1。
Sqrt 同樣採用牛頓迭代，公式為 Uᵢ₊₁ = Uᵢ(3 - V·Uᵢ²)/2，使 U 二次收斂於 1/√V，最後乘以 V 得平方根。InitialValue 利用雙精度浮點數提供初始近似值，保證迭代快速收斂。
FFT 採用雙精度浮點運算，尾數 53 位。為避免捨入誤差導致整數部分無法辨識，需滿足：
2·log₂B + log₂N + 3·log₂log₂N < 53
其中 B 為基數，N 為變換長度。本類別選 B=100，可支援約 2×10⁸ 位十進制數字。基數越小精度越高但速度越慢，100 是經驗折中值。
BigArithmetic 完整實現了任意精度整數的四則運算、平方根與倒數，核心乘法採用 FFT 達到準線性複雜度，除法與平方根利用牛頓迭代實現二次收斂。下一步將以此為基礎重構 Skyiv.Numeric.BigInteger，提供更友善的高階介面。
