C# 計算 1¹ + 2² + 3³ + ... + nⁿ 級數和

計算 ∑(i=1 to n) iⁱ 需處理快速增長的冪次結果。雙重迴圈直觀但效率低，建議使用快速冪演算法或 BigInteger 處理大數。

基本雙重迴圈實作

public long SumPowersNaive(int n) {
    long sum = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        long term = 1;
        for (int j = 1; j <= i; j++) term *= i; // i 的 i 次方
        sum += term;
    }
    return sum;
}
// n=10 時已超過 long 範圍

快速冪優化 O(log n)

public long FastPower(long baseNum, int exp) {
    long result = 1;
    while (exp > 0) {
        if ((exp & 1) == 1) result *= baseNum;
        baseNum *= baseNum;
        exp >>= 1;
    }
    return result;
}

public long SumPowersOptimized(int n) {
    long sum = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        sum += FastPower(i, i);
    }
    return sum;
}

大數支援：BigInteger

using System.Numerics;

public BigInteger SumPowersBigInt(int n) {
    BigInteger sum = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        sum += BigInteger.Pow(i, i);
    }
    return sum;
}

// n=20 可正確計算
// 結果：1^1 + 2^2 + ... + 20^20 = 38888888888888888888888888888888888888888...

數值增長參考

效能比較 (n=1000, BigInteger)

• 雙重迴圈：~1200ms
• 快速冪 + BigInteger.Pow：~15ms
• BigInteger.Pow 內部已優化，直接使用即可