C# 使用橢圓曲線簽名算法 (ECDSA) 實現軟體序列號生成與驗證

前言：橢圓曲線密碼學 (ECC) 簡介

橢圓曲線密碼學（Elliptic Curve Cryptography，簡稱 ECC）是一種基於橢圓曲線數學結構的公開金鑰加密技術。1985 年，Neal Koblitz 與 Victor Miller 獨立提出將其應用於密碼學。ECC 的優勢在於：在提供相同安全強度的前提下，所需的金鑰長度遠小於 RSA 等傳統算法，計算效率更高，適合資源受限環境。

ECDSA 簽名原理與微軟序列號機制

橢圓曲線數位簽名算法（ECDSA）是 ECC 的典型應用。早期微軟產品的 25 位序列號即基於 ECDSA 實現。理論上 ECDSA 極難破解，但微軟為了控制序列號長度，將簽名長度限制在 62 位左右，導致私鑰空間縮小，使得暴力破解成為可能（這也是所謂「算號器」的原理）。

核心參數定義

橢圓曲線通常定義為 Ep = (p, a, b, G, n, h)：

• p, a, b：決定曲線方程 y² ≡ x³ + ax + b (mod p) 的參數
• G：基點（生成元）
• n：基點 G 的階（即最小正整數使 nG = O，無限遠點）
• h：餘因子，曲線上所有點數 m 與 n 的商

簽名流程

1. 選擇曲線 Ep(a,b) 與基點 G
2. 選私鑰 k (k < n)，計算公鑰 K = kG
3. 取隨機數 r (r < n)，計算 R = rG
4. 計算雜湊值：Hash = SHA(data, Rx, Ry)
5. 計算簽名值：sig ≡ r - Hash × k (mod n)
6. 將 sig 與 Hash 編碼（如 Base24）生成序列號

驗證流程

1. 從序列號解析出 sig 與 Hash
2. 計算 R ≡ sig × G + Hash × K (mod p)
3. 重新計算雜湊：H = SHA(data, Rx, Ry)
4. 比較 H 與 Hash，相同則驗證通過

.NET 環境下的實現選擇

.NET 3.5 引入了 ECDsaCng 類，但僅支援 Vista 及以上系統，且曲線參數固定為 NIST 標準曲線（P-256, P-384, P-521），無法使用自定義參數。為了靈活性，推薦使用成熟的第三方庫 BouncyCastle.Crypto (BCCCrypto)，當前 1.4 版本穩定可靠，支援完整的 ECDSA 操作與自定義曲線參數。

核心代碼實現（基於 BouncyCastle）

簽名端

// 生成 R = r * G
TBCryptoBigInteger r = null;
SecureRandom random = new SecureRandom();
do {
    r = new TBCryptoBigInteger(this.ecDomainParams.N.BitLength, random);
} while (r.SignValue == 0);

ECPoint R = this.ecDomainParams.G.Multiply(r);

// Hash = SHA1(data, Rx, Ry)
string hashStr = Sha1(31, rawKeyBytes, 
    R.X.ToBigInteger().ToByteArray(), 
    R.Y.ToBigInteger().ToByteArray());
TBCryptoBigInteger hashInt = new TBCryptoBigInteger(hashStr, 2);

// sig = r - Hash * D (mod n)
TBCryptoBigInteger sig = r.Subtract(hashInt.Multiply(this.ecPrivateKey)).Mod(this.ecDomainParams.N);

驗證端

// 使用標準曲線 Prime256v1 (secp256r1)
X9ECParameters ecps = X962NamedCurves.GetByOid(X9ObjectIdentifiers.Prime256v1);
ECPublicKeyParameters pk = new ECPublicKeyParameters("ECDSA",
    ecps.Curve.DecodePoint(Hex.Decode(KeyAttribute.GetKey(type.Assembly))),
    new ECDomainParameters(ecps.Curve, ecps.G, ecps.N, ecps.H));

ISigner signer = SignerUtilities.GetSigner("ECDSA");
signer.Init(false, pk);
signer.BlockUpdate(dataBytes, 0, dataLen);

if (signer.VerifySignature(sigBytes)) {
    // 驗證通過，處理業務邏輯
}

輔助工具：Base24 編碼與大整數處理

序列號生成常需將二進位簽名轉為可讀字串。Base24 編碼（排除易混淆字元）是常見選擇。大整數運算可直接使用 BouncyCastle 提供的 BigInteger 類，支援模運算、位運算等。相關實現可參考社群開源專案。

總結

ECDSA 結合自定義曲線參數，能構建相對安全的軟體授權體系。關鍵在於：妥善保護私鑰、使用足夠長度的簽名、引入硬體特徵碼綁定、採用混淆加殼防止逆向分析。BouncyCastle 為 .NET 開發者提供了強大、靈活的密碼學工具箱，是實作此類需求的首選。