房貸計算器數學原理深度解析：等本息 vs 等本金 利息總額推導與比較

一、等本息法月繳額推導

定義：每月繳納固定金額，包含本金與利息。利率不變時月繳額固定。

遞迴關係：

設貸款本金 A、月利率 r、期數 n、月繳額 z。
第 k 期末剩餘本金 B_k：

B_k = B_{k-1}(1+r) - z, 其中 B_0 = A。

遞推得：

B_n = A(1+r)^n - z[(1+r)^{n-1} + ... + (1+r) + 1]

等比數列求和：S = [(1+r)^n - 1] / r。

第 n 期結清 B_n = 0：

A(1+r)^n = z * [(1+r)^n - 1] / r

月繳額公式：

z = A * r * (1+r)^n / [(1+r)^n - 1]

二、等本息總利息

總利息 = n*z - A = A * [1 + (n*r - 1)*(1+r)^n] / [(1+r)^n - 1]

驗證：A=10萬, r=3.87%/12, n=240 → 總利息 ≈ 43,796.52 元（計算器 43,796.00，差 0.52 因逐月捨入）。

三、等本金法總利息

定義：每月固定償還本金 A/n，利息隨剩餘本金遞減。
第 k 期利息：r * A * (1 - (k-1)/n)。

等差數列求和：總利息 = r*A * n * [1 + (1 - (n-1)/n)] / 2 = A * r * (n+1) / 2

驗證：同條件 → 38,861.25 元（計算器 38,860.94，差 0.31）。

四、兩者利息差比較

利息差 = A * { [1 + (n*r - 1)(1+r)^n] / [(1+r)^n - 1] - r(n+1)/2 }

圖表顯示：對所有 r>0, n≥1，利息差 > 0，**等本金總利息恆較少**。

但等本金前期月繳額高（首月 739 元 vs 等本息 599 元），需評估還款能力。

五、利率趨近零時的極限

等本息月繳額極限：

lim_{r→0} z = lim A*r*(1+r)^n / [(1+r)^n - 1] = A/n（等本金月繳額）。

兩公式在零利率下收斂一致。

結語

等本金總成本較低，適合前期負擔能力強者；等本息現金流平穩，適合收入固定族群。理解公式推導，才能在簽約前算清帳、做最有利決策。