最基本的有限元計算程序：二維傳熱問題求解

問題描述

求解如下二維傳熱問題（參考《流體力學中的有限元方法》P156-165）：

求解流程

1. 區域離散化

• 將計算域劃分為有限個三角形單元
• 在單元邊界設置節點並編號
• 計算節點坐標

2. 單元分析

控制方程：

采用 Galerkin 弱形式：

選用三節點三角形單元，插值多項式：

代入節點坐標求得基函數：

其中：

單元近似函數：

代入弱形式，利用基函數任意性得單元剛度矩陣：

記：

代入基函數具體表達式：

經等參變換（詳見文獻 P201），對常數 p 情況：

此處 A 為三角形面積。邊界項 g 均為 0，故不計算。

3. 整體分析與求解

• 按集成規則組裝全局剛度矩陣與載荷向量
• 施加位移邊界條件
• 高斯消元法求解線性方程組，得節點溫度值

4. 程序實現

• Fem1.cpp：直接計算積分值
• Fem2.cpp：采用面積坐標插值函數，積分值取三角形面積 1/3，更通用
• Fem3.cpp：求解題目 2

兩者結果一致，驗證了算法正確性。

網格劃分與結果可視化

四邊形區域網格劃分：

計算結果用 Matlab 可視化：

圖 2、3 為題 1 兩程序結果（視角不同），圖 4 為題 2 解：

同框架還成功求解三角形、橢圓形區域問題。

致謝

感謝王旭教授在數學與計算上的悉心指導！