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In-circles Again：三角形內切圖與旁切圓面積計算

編輯：關於C++

題目大意

給定三角形 ABC 的內切圓半徑 r，以及三個旁切圓半徑 r1, r2, r3（每個旁切圓與兩邊及內切圓相切）。求三角形面積。輸入多組 r, r1, r2, r3，以四個 -1 結束。

幾何關係推導

設三角形邊長 a,b,c，半周長 p，面積 S。內切圓半徑 r = S/p。
旁切圓半徑 r1 對應邊 a，有 r1 = S/(p-a)。同理 r2 = S/(p-b), r3 = S/(p-c)。
由 r, r1, r2, r3 可解出 p, p-a, p-b, p-c：
p = S/r, p-a = S/r1, p-b = S/r2, p-c = S/r3。
兩邊之和：
a = p - (p-a) = S(1/r - 1/r1)，類推 b, c。
但更直接：三角形三邊可由內切圓與旁切圓幾何關係得出：
x1 = sqrt((r+r1)^2 - (r-r1)^2) = 2*sqrt(r*r1) 是內切圓與旁切圓圓心連線在邊上的投影長度？實際推導較複雜，但代碼中採用以下公式：

a1 = sqrt((r+r1)^2 - (r-r1)^2) = 2*sqrt(r*r1)
x1 = a1 * r1 / (r - r1)
同理得 x2, x3
三邊：aa1 = (a1+x1)+(a2+x2), aa2 = (a2+x2)+(a3+x3), aa3 = (a1+x1)+(a3+x3)
面積 = sqrt(q*(q-aa1)*(q-aa2)*(q-aa3))  (海倫公式)

代碼實現

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

double r[5];

double fun(double r1, double r2) {
    return (r1+r2)*(r1+r2) - (r1-r2)*(r1-r2); // = 4*r1*r2
}

bool cmp(double a, double b) { return a > b; }

int main() {
    int cas = 1;
    while (scanf("%lf%lf%lf%lf", &r[0], &r[1], &r[2], &r[3]) == 4) {
        if (r[0] < 0) break;
        sort(r, r+4, cmp); // r[0] 為內切圓半徑（最大）
        double a1 = sqrt(fun(r[0], r[1]));
        double x1 = a1 * r[1] / (r[0] - r[1]);
        double a2 = sqrt(fun(r[0], r[2]));
        double x2 = a2 * r[2] / (r[0] - r[2]);
        double a3 = sqrt(fun(r[0], r[3]));
        double x3 = a3 * r[3] / (r[0] - r[3]);
        double aa1 = (a1+x1) + (a2+x2);
        double aa2 = (a2+x2) + (a3+x3);
        double aa3 = (a1+x1) + (a3+x3);
        double q = (aa1 + aa2 + aa3) / 2.0;
        double S = sqrt(q * (q-aa1) * (q-aa2) * (q-aa3));
        printf("Case %d: %.2lf\n", cas++, S);
    }
    return 0;
}