C語言計算交替級數：1/1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... + 1/99 - 1/100

兩種演算法實作與效能比較

計算前 100 項交替調和級數部分和，展示數學庫函數法與旗標變數法的差異，並分析浮點數精度特性。

方法一：使用 pow() 計算正負號

#include <stdio.h>
#include <math.h>

int main() {
    double sum = 0.0;
    
    for (int n = 1; n <= 100; n++) {
        // (-1)^(n+1)：n=1 為 +1, n=2 為 -1, n=3 為 +1...
        double sign = pow(-1.0, n + 1);
        sum += sign / n;
    }
    
    printf("方法一結果：%.12f\n", sum);
    printf("ln(2) 參考值：%.12f\n", log(2.0));
    printf("絕對誤差：%.2e\n", fabs(sum - log(2.0)));
    
    return 0;
}

方法二：旗標變數翻轉（推薦）

#include <stdio.h>

int main() {
    double sum = 0.0;
    int sign = 1; // 從正號開始
    
    for (int n = 1; n <= 100; n++) {
        sum += sign * (1.0 / n);
        sign = -sign; // 每次翻轉
    }
    
    printf("方法二結果：%.12f\n", sum);
    printf("ln(2) 參考值：%.12f\n", 0.693147180560);
    
    return 0;
}

效能與精度分析

關鍵技術細節

1. 1.0/n 強制浮點除法：寫成 1/n 會整數除法截斷為 0
2. double vs float：雙精度誤差 ~1e-15，單精度 ~1e-7，建議用 double
3. 編譯優化：-O2 下旗標法會被優化為無分支碼

數學背景延伸

• 級數定義：Σ_{n=1}^{∞} (-1)^{n+1}/n = ln(2)
• 收斂性質：條件收斂（絕對值級數發散），重新排列項次可改變和
• 加速收斂：兩兩分組 Σ 1/(2k(2k-1)) 收斂快一倍

加速版本程式碼

// 僅需 50 次迴圈達到相同精度
double sum = 0.0;
for (int k = 1; k <= 50; k++) {
    sum += 1.0 / (2 * k * (2 * k - 1));
}
printf("加速版 (50項)：%.12f\n", sum);

常見錯誤避坑

• 忘記 -lm 連結數學庫（pow 版本）
• 整數除法 1/n 導致結果為 0
• 迴圈邊界錯誤（<=100 vs <100）
• 使用 float 導致精度不足