C語言高效求素數：從定義到平方根優化的完整演進

素數定義與朴素算法

素數：大於 1 的自然數，除 1 和自身外無其他因數。朴素判斷：對 n 從 2 試除到 n-1，若無法整除則為素數。時間複雜度 O(n)，n=200 尚可，大數完全不可行。

兩大優化關鍵

1. 跳過偶數：除 2 外無偶數素數，迴圈步進 2。
2. 試除上限降至 √n：若 n = a × b，則 a ≤ √n 或 b ≤ √n。只需試除到 floor(√n)。

優化後代碼（100-200 區間）

break 與 continue 機制深度解析

break：跳出最內層迴圈，繼續執行迴圈後的語句。
continue：跳過本次迴圈剩餘語句，直接進入下一次迭代的判斷。
巢狀迴圈中，只影響直接包含它們的那一層。

本例中 break 用於「一旦發現因數立即停止試除」，極大減少無效運算。

更進階：埃拉托斯特尼篩法
若需大量素數（如 1 百萬以內），試除法仍慢，應用篩法 O(n log log n)：

總結
素數判斷是演算法優化的經典教材：從定義出發，利用數學性質（偶數排除、對稱因子）將複雜度從 O(n) 降至 O(√n)，再配合 break 提前退出，工程上足以應對中小規模需求。大規模場景請直接上篩法或概率檢測。