C語言數學計算：交替調和級數求和

計算 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... + 1/99 - 1/100

這是萊布尼茲級數的部分和，收斂於 ln(2) ≈ 0.693147。本文展示兩種實作方式並分析精度差異。

方法一：pow() 函數法（教學用）

#include <stdio.h>
#include <math.h>

int main() {
    double sum = 0.0;
    
    for (int n = 1; n <= 100; n++) {
        // (-1)^(n+1) 產生交替正負號：n=1 時為 +1, n=2 時為 -1
        double sign = pow(-1, n + 1);
        sum += sign / n;
    }
    
    printf("方法一結果：%.10f\n", sum);
    printf("ln(2) 真值：%.10f\n", log(2.0));
    printf("誤差：%.10f\n", fabs(sum - log(2.0)));
    
    return 0;
}

方法二：旗標變數法（效能優化）

#include <stdio.h>

int main() {
    double sum = 0.0;
    int sign = 1; // 正負號旗標
    
    for (int n = 1; n <= 100; n++) {
        sum += sign * (1.0 / n);
        sign = -sign; // 翻轉正負號
    }
    
    printf("方法二結果：%.10f\n", sum);
    printf("ln(2) 真值：%.10f\n", 0.6931471805599453);
    
    return 0;
}

精度與效能分析

關鍵細節：1.0/n 的必要性

1/n 整數除法會截斷為 0（n>1 時）。必須寫成 1.0/n 或 (double)1/n 強制浮點數除法。

數學延伸

• 無限級數：Σ (-1)^(n+1)/n = ln(2)
• 收斂速度：線性收斂，要達到 10^-6 精度需約 1,000,000 項
• 加速收斂：可使用歐拉變換或將項兩兩分組：(1-1/2)+(1/3-1/4)+... = Σ 1/(2n(2n-1))

加速版本

// 兩兩分組版：收斂快一倍
double sum = 0.0;
for (int n = 1; n <= 50; n++) {
    sum += 1.0 / (2 * n * (2 * n - 1));
}
printf("加速版結果：%.10f\n", sum);