C語言經典筆試題：分數數列求和（斐波那契分數變體）

經典 C 語言筆試題：求分數數列前 20 項之和。數列規律：分子分母均為斐波那契數列，前項分母為後項分子，前項分子+分母 = 後項分子。

題目描述

數列：2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13, ...
規律：
- 分子：2, 3, 5, 8, 13, 21... (斐波那契)
- 分母：1, 2, 3, 5, 8, 13... (斐波那契錯位)
- 遞推：新分子 = 舊分子 + 舊分母；新分母 = 舊分子
求前 20 項和。

代碼實現

#include 

int main() {
    float numerator = 2.0f;   // 分子
    float denominator = 1.0f; // 分母
    float sum = 0.0f;
    int i = 0;
    float temp;

    while (i < 20) {
        sum += numerator / denominator;  // 累加當前項

        // 遞推下一項
        temp = numerator;
        numerator = numerator + denominator; // 新分子 = 舊分子 + 舊分母
        denominator = temp;                  // 新分母 = 舊分子

        i++;
    }

    printf("前20項和: %g\n", sum);
    return 0;
}

運行結果

前20項和: 32.6603

關鍵邏輯解析

數學洞察

該數列第 n 項為 F(n+2) / F(n+1)，其中 F 為斐波那契數列（F1=1, F2=1）。

極限值趨近黃金分割比 φ = (1+√5)/2 ≈ 1.618034。

前 20 項和 ≈ 32.6603，隨項數增加，平均項值趨近 φ，總和約為 n×φ。

常見陷阱與優化

• 整數除法截斷：必須用 float/double 存儲分子分母或強制類型轉換 (float)num/den。
• 變量更新順序：需用臨時變量保存舊分子，否則分母更新會用到新分子值導致錯誤。
• 精度考慮：double 精度更高，長數列建議使用。
• 遞歸 vs 迭代：迭代 O(1) 空間，遞歸 O(n) 棧空間且重複計算，此題必用迭代。

總結

此題考察：

1. 模式識別：快速發現斐波那契遞推關係。
2. 變量遞推：正確處理臨時變量交換更新。
3. 類型選擇：浮點數避免整除截斷。
4. 邊界控制：循環 20 次精確終止。

掌握「舊值暫存 → 計算新值 → 更新變量」的標準遞推模板，可靈活應對各類數列求和、遞推關係筆試題。

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