從點積定義推導點積公式：余弦定理幾何證明

從點積定義推導點積公式：余弦定理幾何證明

向量點積（內積）的幾何意義是「模長乘積與夾角余弦」，本文通過坐標系與余弦定理，從代數定義 a·b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ 推導出幾何公式 a·b = |a||b|cosθ。

第一步：證明余弦定理

三角形邊長 a,b,c，對應夾角 A,B,C。從頂點向對邊作投影得：

a = b·cosC + c·cosB
b = a·cosC + c·cosA
c = a·cosB + b·cosA

兩邊乘以對應邊長並相加：

a² = ab·cosC + ac·cosB
b² = ab·cosC + bc·cosA
c² = ac·cosB + bc·cosA

前兩式相加減去第三式：

a² + b² - c² = 2ab·cosC
⇒ c² = a² + b² - 2ab·cosC  (標準余弦定理)

第二步：引入向量坐標

設向量 a = (a₁,a₂,a₃), b = (b₁,b₂,b₃)，則 c = a - b。
模長平方：

|a|² = a₁² + a₂² + a₃²
|b|² = b₁² + b₂² + b₃²
|c|² = (a₁-b₁)² + (a₂-b₂)² + (a₃-b₃)²
     = |a|² + |b|² - 2(a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃)

第三步：結合余弦定理

由余弦定理：|c|² = |a|² + |b|² - 2|a||b|cosθ
比較兩式：

|a|² + |b|² - 2(a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃) = |a|² + |b|² - 2|a||b|cosθ
⇒ a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ = |a||b|cosθ

即 點積代數定義 = 點積幾何定義。

幾何意義總結

• a·b > 0：夾角銳角 (θ < 90°)
• a·b = 0：正交 (θ = 90°)
• a·b < 0：夾角鈍角 (θ > 90°)
• |a·b| = |a||b|：平行/反平行

應用場景

1. 夾角計算：cosθ = (a·b)/(|a||b|)
2. 投影長度：|a|cosθ = (a·b)/|b|
3. 正交分解：將向量分解為平行與垂直分量
4. 光照計算：Lambert 余弦定律 I = I₀·max(0, N·L)
5. 相似度度量：余弦相似度 cosθ = (A·B)/(|A||B|)

這一推導展示了代數與幾何的深刻統一，是線性代數、計算機圖形學、機器學習的理論基石。