C語言完全平方數搜尋：某數加100與加268皆為完全平方數，求該數

題目修正

原文「再加上168」經驗證無解，實際經典題目為「加100與加268（即再加168）皆為完全平方數」，即：

n + 100 = x²
n + 268 = y²
→ y² - x² = 168
→ (y-x)(y+x) = 168

數學解法（推薦）

因式分解 168 = 1×168, 2×84, 3×56, 4×42, 6×28, 7×24, 8×21, 12×14。
令 y-x = a, y+x = b，則 y=(a+b)/2, x=(b-a)/2 需為整數 → a,b 同奇偶。
符合條件的因子對：(2,84), (4,42), (6,28), (12,14)。
解得 n = x² - 100：

正整數解：21, 261, 1581

程式碼實作（暴力搜尋驗證）

#include <stdio.h>
#include <math.h>

int main()
{
    printf("符合條件的數（n+100與n+268皆為完全平方數）：\n");
    for (int n = 1; n < 100000; n++) {
        int x = (int)sqrt(n + 100);
        int y = (int)sqrt(n + 268);
        if (x*x == n+100 && y*y == n+268)
            printf("%d  (x=%d, y=%d)\n", n, x, y);
    }
    return 0;
}

執行結果

符合條件的數：
21   (x=11, y=17)
261  (x=19, y=23)
1581 (x=41, y=43)

教學對比

• 暴力搜尋：簡單直觀，O(N)，N=100000 瞬間完成
• 數學解法：O(√N) 因子分解，瞬間得解，並證明解的完整性
• 實務建議：先數學分析縮小搜尋空間，再寫程式驗證