C語言補碼深度理解：從定義到真值轉換完整推導

背景：為什麼選補碼？

• 符號位參與運算，減法轉加法（A - B = A + (-B)）。
• 唯一表示 0（原碼/反碼有 +0/-0）。
• 硬體實現簡單：同一加法器處理有號/無號。

參考：為什麼選補碼

8 位補碼範圍推導

正數（符號位 0）

00000000 (0) ~ 01111111 (127)。
正數補碼 = 真值二進制。

負數（符號位 1）

模 M = 2^8 = 256。負數 -x 的補碼 = M - x。
-1 → 255 → 11111111
-127 → 129 → 10000001
-128 → 128 → 10000000

範圍：-128 ~ -1（比原碼/反碼多表示 -128）。

真值 ↔ 補碼 轉換規則

真值 → 補碼（同余法）

正數：直接寫二進制。
負數 -x：計算 256 - x，寫二進制。
例：-126 → 256-126=130 → 10000010。

補碼 → 真值（同余逆運算）

補碼值 C（作為無號數讀取）：
若符號位 0 → 真值 = C。
若符號位 1 → 真值 = C - 256。
例：10000010 (130) → 130 - 256 = -126。
10000000 (128) → 128 - 256 = -128。

傳統「取反加一」法的缺陷

對 -128：
真值 -128 無原碼表示（8 位原碼範圍 -127~127）。
強行取反加一會丟失進位，得到 10000000，雖結果正確但邏輯不通。
同余定義才是本質，取反加一只是 M=2^n 時的計算技巧。

驗證表

總結

1. 補碼本質是模 2^n 同余系統，負數 -x 對應 2^n - x。
2. 8 位有號範圍 -128 ~ 127，非對稱源於 0 佔用一個編碼。
3. 轉換口訣：負數補碼 = 256 - 絕對值；補碼轉真值 = 無號值 - (符號位?256:0)。
4. 理解同余定義，避免死記「取反加一」。