Python math.sqrt() 平方根函數完整教學：語法、定義域、精度與實務應用

math.sqrt(x) 回傳 x 的算術平方根（主平方根），定義域為 x >= 0。本文涵蓋語法、參數、回傳值、錯誤處理、精度考量、複數支援替代方案與常見應用場景。

函數簽名

import math
math.sqrt(x)  # x 為非負數值

基本範例

import math

print(math.sqrt(100))      # 10.0
print(math.sqrt(2))        # 1.4142135623730951
print(math.sqrt(0))        # 0.0
print(math.sqrt(0.25))     # 0.5
print(math.sqrt(math.pi))  # 1.7724538509055159

定義域錯誤

try:
    math.sqrt(-1)
except ValueError as e:
    print(e)  # math domain error

複數平方根：用 cmath

import cmath
print(cmath.sqrt(-1))      # 1j
print(cmath.sqrt(4))       # (2+0j)
print(cmath.sqrt(2+3j))    # (1.6741492280355401+0.8959774761298381j)

精度與效能

• math.sqrt 採用硬體指令（通常為 IEEE 754 sqrt），單精度約 1 ULP 誤差，極快。
• 大量陣列運算請用 numpy.sqrt 或 np.ndarray ** 0.5，向量化並支援廣播。
• 整數完全平方數判斷：int(math.sqrt(n)) ** 2 == n（注意大數精度）。

實務應用場景

1. 幾何距離：歐氏距離 math.hypot(dx, dy)（內部用 sqrt，更穩定）。
2. 標準差/變異數：math.sqrt(variance)。
3. 物理公式：振動週期 T = 2*math.pi*math.sqrt(m/k)、逃逸速度 v = math.sqrt(2*G*M/r)。
4. 機率統計：常態分佈標準化 z = (x - mu) / sigma、信賴區間邊界。
5. 圖形學：向量正規化 v / math.sqrt(v.x**2 + v.y**2 + v.z**2)。

替代寫法比較

常見誤區

• 以為 math.sqrt(4) 回傳 2 (int) → 實為 2.0 (float)。
• 傳入負整數未捕獲 ValueError 導致程式中斷。
• 大整數 math.sqrt(10**30) 精度足夠，但 math.isqrt (Python 3.8+) 可精確求整數平方根。

Python 3.8+ 新增：math.isqrt()

print(math.isqrt(10))   # 3 (floor(sqrt(10)))
print(math.isqrt(100))  # 10
# 適用於大整數完全平方判斷、密碼學等需精確整數根的場合

選對平方根函數（math.sqrt 實數、cmath.sqrt 複數、math.isqrt 整數），並注意定義域與回傳型別，能避免隱性 Bug 並寫出高效能數值代碼。