數學建模：已知兩點求直線延長至邊界座標

問題描述

已知兩點 P1(320, 0), P2(200, 50)，畫布大小 640×260。求直線 P1P2 延長後與畫布邊界的交點座標。

解析幾何解法

1. 求直線方程：
   斜率 k = (50 - 0) / (200 - 320) = 50 / (-120) = -5/12
   截距 b = y1 - k*x1 = 0 - (-5/12)*320 = 400/3 ≈ 133.33
   方程：y = -5/12 x + 400/3
2. 計算四邊界交點：
   • 左邊界 x=0 → y = 400/3 ≈ 133.33（在 0~260 內，有效）
   • 右邊界 x=640 → y = -5/12*640 + 400/3 = -800/3 + 400/3 = -400/3 ≈ -133.33（超出下邊界，無效）
   • 上邊界 y=0 → 0 = -5/12 x + 400/3 → x = 320（即 P1，有效）
   • 下邊界 y=260 → 260 = -5/12 x + 400/3 → x = (400/3 - 260) * (-12/5) = (-380/3) * (-12/5) = 304（在 0~640 內，有效）
3. 結果：延長線段在畫布內的可見部分為 (0, 133.33) 到 (304, 260)（含已知點 (320,0)）。

代碼實現（通用版）

public static Point[] getLineClip(double x1, double y1, double x2, double y2,
                                  double w, double h) {
    // 1. 直線參數
    double k = (y2 - y1) / (x2 - x1);
    double b = y1 - k * x1;

    // 2. 四邊界交點
    List pts = new ArrayList<>();
    // 左 x=0
    double yLeft = b;
    if (yLeft >= 0 && yLeft <= h) pts.add(new Point(0, yLeft));
    // 右 x=w
    double yRight = k * w + b;
    if (yRight >= 0 && yRight <= h) pts.add(new Point(w, yRight));
    // 上 y=0
    if (k != 0) {
        double xTop = -b / k;
        if (xTop >= 0 && xTop <= w) pts.add(new Point(xTop, 0));
    }
    // 下 y=h
    if (k != 0) {
        double xBottom = (h - b) / k;
        if (xBottom >= 0 && xBottom <= w) pts.add(new Point(xBottom, h));
    }

    // 3. 去重並按參數 t 排序（可選）
    return pts.toArray(new Point[0]);
}

擴展：Cohen-Sutherland / Liang-Barsky 裁剪算法

若需高性能批量處理（如遊戲渲染），建議使用成熟的線段裁剪算法，避免手動判邊漏況。

掌握「兩點式 → 斜截式 → 邊界求交 → 範圍過濾」通用流程，幾何題迎刃而解。