計算機組成原理：為何 1 的補碼全 0、-1 的補碼全 1？

在有號整數的補碼表示中，+1 的二進制為 000...001，-1 卻是 111...111。這看似反直覺的設計，實則蘊含「模運算」與「硬體加法器統一」的精妙邏輯。

補碼定義回顧

• 正數：原碼 = 反碼 = 補碼，符號位 0，數值位直接表示大小。
• 負數：補碼 = 反碼 + 1（反碼 = 原碼除符號位取反）。

推導 -1 的補碼

1 的原碼（8位為例）   : 0 0000001
1 的反碼               : 1 1111110
1 的補碼 = 反碼 + 1    : 1 1111111  → 即 -1

同理，32 位 int 下：

+1 : 00000000 00000000 00000000 00000001
-1 : 11111111 11111111 11111111 11111111

為什麼要這樣設計？

1. 減法變加法，硬體只需加法器

A - B = A + (-B)。若 -B 用補碼表示，CPU 只需一組加法器即可完成加減法，無需額外減法電路。

2. 模 2^n 同餘系統

n 位元系統下，數值範圍為 [-2^(n-1), 2^(n-1)-1]。補碼本質上是 模 2^n 的同餘類代表元：

-1 ≡ 2^n - 1 (mod 2^n)
   = 111...111 (二進制)

因此 1 + (-1) = 1 + (2^n - 1) = 2^n ≡ 0 (mod 2^n)，溢位捨棄後結果正確為 0。

3. 統一移位與擴展規則

• 算術右移：符號位複製，負數除 2 正確（111...111 >> 1 = 111...111 即 -1/2 = -1 向下取整）。
• 符號擴展：高位補符號位，int16_t -1 → int32_t 自動變 111...111。

特殊值：-2^(n-1) 只有補碼無原碼

以 8 位為例，-128 的補碼為 10000000。其原碼需 9 位表示（1 10000000），故補碼系統多出一個負數，範圍非對稱：[-128, 127]。

總結

-1 補碼全 1 不是巧合，而是模運算閉環與硬體電路極簡化的必然選擇。這個設計讓現代 CPU 能用同一組加法器、移位器處理有號/無號運算，是計算機體系結構中最優雅的工程決策之一。