斐波那契數列經典應用：兔子繁殖問題 Java 代碼逐行詳細講解

問題重述

一對兔子，出生後第 3 個月起每月產一對，子兔長到第 3 月也開始產，假設不死，求每月兔子總對數。這是經典的**斐波那契數列**問題：F(1)=1, F(2)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)。

代碼逐行深度解析

public class RabbitFibonacci {
    public static void main(String[] args) {
        // 前兩個月直接輸出
        System.out.println("第 1 個月的兔子對數: 1");
        System.out.println("第 2 個月的兔子對數: 1");
        
        // 變量含義：
        // f1 = F(n-2)  上上月對數
        // f2 = F(n-1)  上月對數
        // f  = 臨時變量，用於交換
        // M  = 要計算的總月數（這裡 24 只是示例，可改為任意正整數）
        int f1 = 1, f2 = 1, f, M = 24;
        
        // 從第 3 個月開始循環計算
        for (int i = 3; i <= M; i++) {
            f = f2;        // ① 保存上月對數 (F(n-1))
            f2 = f1 + f2;  // ② 計算本月對數 F(n) = F(n-2) + F(n-1)，結果存入 f2
            f1 = f;        // ③ 更新上上月對數為舊的上月對數 (F(n-1) → F(n-2))
            System.out.println("第 " + i + " 個月的兔子對數: " + f2);
        }
    }
}

變量演示表 (前 6 個月)

關鍵點解答

1. M=24 含義：只是演示計算前 24 個月，**非固定常數**。實際使用可改為用戶輸入 Scanner 或常量 MAX_MONTH；
2. 循環體邏輯：滾動數組/雙變量迭代。只保留最近兩個月數值，空間複雜度 O(1)，時間 O(n)；
3. 為何不遞歸：遞歸 fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2) 重複計算指數級，極其低效；迭代是工程標準解法；
4. 大數處理：第 50 個月超 int 範圍，第 93 超 long。生產環境請用 BigInteger：
   

   BigInteger f1 = BigInteger.ONE, f2 = BigInteger.ONE, f;
   for (int i = 3; i <= M; i++) {
       f = f2;
       f2 = f1.add(f2);
       f1 = f;
       System.out.println("第 " + i + " 月: " + f2);
   }
   

擴展：矩陣快速冪 O(log n) 求第 n 項

// [[1,1],[1,0]]^n = [[F(n+1), F(n)], [F(n), F(n-1)]]
public static BigInteger fibFast(int n) {
    BigInteger[][] baseM = {{BigInteger.ONE, BigInteger.ONE}, {BigInteger.ONE, BigInteger.ZERO}};
    BigInteger[][] res = matrixPower(baseM, n);
    return res[0][1]; // F(n)
}

總結

兔子問題本質是斐波那契數列。**雙變量滾動迭代**是工程首選：O(n) 時間、O(1) 空間、代碼極簡。初學者重點理解 f1, f2 代表「上上月、上月」的語義，以及三步交換更新的順序。實際項目中注意 BigInteger 防溢出，或按需求輸出前 N 項即可。