C++ 遞歸求 PI 導致堆疊溢出：改用迴圈輕鬆解決

問題現象

使用遞歸函數 Temp(n) 計算 (-1)^n，在 while(temp >= 1e-6) 精度要求下，遞歸深度超過 4000 層，導致堆疊溢出，程式無輸出或崩潰。

原因分析

• 每次遞歸調用佔用棧框架，Windows 預設堆疊 1MB，深度約幾千層即耗盡。
• 萊布尼茨級數收斂極慢，需百萬次迭代才達 1e-6 精度，遞歸完全不適合。

修正方案：改為迴圈計算正負號

#include <iostream>
#include <iomanip>
using namespace std;

double computePi(double eps = 1e-6) {
    double sum = 0.0;
    double term = 1.0;          // 當前項值 1/(2k+1)
    int sign = 1;               // 正負號
    int k = 0;                  // 項索引

    while (term >= eps) {
        sum += sign * term;
        k++;
        term = 1.0 / (2 * k + 1);
        sign = -sign;           // 交替正負
    }
    return 4 * sum;
}

int main() {
    cout << "------------求PI的值-------------" << endl;
    cout << "根據 P/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 ... 精度 0.000001" << endl;
    double Pi = computePi();
    cout << fixed << setprecision(10) << "PI = " << Pi << endl;
    return 0;
}

關鍵改進

• 移除遞歸，用 sign = -sign 交替正負，O(1) 空間複雜度。
• 雙重精度 double 足夠，輸出 setprecision(10) 觀察收斂。
• 若需更高精度/效能，可改用馬青公式、Chudnovsky 算法或現成常數 M_PI。

遞歸適合樹狀、分治結構；簡單級數求和請堅決使用迴圈。